Funktion auf lokale und globale Extrema untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Funktion auf lokale und globale Extrema:
g : ]2, 6[→ R, x → (x − 1)^4*(x − 7)^5
.

Problem/Ansatz:

Ich habe hierbei ein paar Probleme, aber dazu gleich mehr.

Zuerst schaue ich mir die Ränder an, da diese nicht im Intervall sind, braucht man sie nicht beachten?

Danach bilde ich g'(x) = 3(x-7)^4*(x-1)^3*(3x-11) und setze f'(x) = 0, somit komme ich auf die folgenden potenziellen Extremata:

x=1, x=7 und x=11/3, da x=7 nicht im Intervall ]2, 6[ ist, gibt es nur zweit potenziellen Extremata x=1 und x=11/3

Ich bilde die zweite Ableitung:

f''(x) = 24(x-7)^3*(x-1)^2*(3x^2-22x+37) und setze ein

f''(11/3) > 0, also ein lokales Min und da es keine anderes x  mit f''(x)>0 im Intervall ]2, 6[, auch das globale Min.

Nun kommt ein Problem:

f''(1)=0  sowie f'''(1) = 0.

In der Schule haben wir von einem Sattelpunkt gesprochen, in der Uni nicht, wie gehe ich damit in der Aufgabe um?.

Ein zweiter wichtiger Punkt ist.

Wir sagen, wenn f^n(x) mit n = gerade ist, gibt es lokale Extremata und wenn es ungerade ist nicht, warum?

z.B. hat x^4 ein lokales Extrema, aber x^3 nicht, warum?

Comments

Wir sagen, wenn fn(x) mit n = gerade ist, gibt es lokale Extremata und wenn es ungerade ist nicht, warum?

z.B. hat x4 ein lokales Extrema, aber x3 nicht, warum?

Du brauchst dir nur mal x^4 und x^3 in einem Koordinatensystem anschauen.

x^4 hat eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und damit einen Tiefpunkt.

x^3 hat eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und damit einen Sattelpunkt.

Answer 1

f''(1)=0  sowie f'''(1) = 0.
In der Schule haben wir von einem Sattelpunkt gesprochen, in der Uni nicht, wie gehe ich damit in der Aufgabe um?.

Gar nicht. Deine Funktion ist bei 1 nicht definiert. Alles was außerhalb des Definitionsbereiches liegt geht dich nichts an.

Extrempunkte f'(x) = 0
(x - 1)^3·(x - 7)^4·(9·x - 33) = 0 → x = 1 (3-fach) ∨ x = 11/3 = 3.667 ∨ x = 7 (4-fach kein EP)

x = 1 oder x = 7 brauchen nicht beachtet werden, da sie nicht im Intervall liegen. Stattdessen beachtet man noch die Intervallgrenzen.

lim (x → 2) f(x) = -3125
f(11/3) = -20809.8 (lokales und globales Minimum)
lim (x → 6) f(x) = -625 (obere Schranke)

Comments

"Alles was außerhalb des Definitionsbereiches liegt geht dich nichts an."

Es wird aber auch nach globalen gefragt.

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Und du meinst mit global wird alles bezeichnet? Also auch außerhalb des Intervalles?

Dann habe ich das anders gelernt.

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Ja, lokal meint den vorgegebenen Definitionsbereich, global den maximalen. :)

Was hast du gelernt?

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@ "Mathecoach":

Ich weiß nicht, was du alles gelernt hast und was nicht.

Aber dass du ernsthaft "11/3 = 3.667" schreibst ist unseriös.

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Welche Rundung wäre denn seriös? Dass er das Rundungszeichen vergessen hat, ist eher eine Unachtsamkeit, oder?

Freilich sollte man Brüche im Ergebnis Brüche sein lassen, wenn nichts anderes verlangt ist.

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Freilich sollte man Brüche im Ergebnis Brüche sein lassen, wenn nichts anderes verlangt ist.

Daher habe ich dort auch einen Bruch angegeben. Zum skizzieren oder um sich das Vorzustellen ist allerdings eine Angabe als Dezimalzahl sinnvoll.

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Es soll Leute geben, die auch in Brüchen denken und dabei gelegentlich eine Bruchlandung erleiden. :))

PS:

Unter 2/3 eines Kuchens kann ich mir mehr vorstellen als unter 0,667 Kuchen.

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Also ich muss bei 11/3 Kuchen schon etwas überlegen.

Da würde mir dann 3.667 Kuchen schon etwas mehr sagen.

Es ist zwar mathematisch nicht exakt aber ob das nun ein Krümel mehr oder weniger ist interessiert mich bei der Angabe auch nicht sonderlich.

Das ist der Unterschied zwischen einem Mathematiker und einem Anwendungsmathematiker. Der Anwendungsmathematiker darf sinnvoll runden.

Es soll ja Leute geben, die den Umfang des Kuchens in Vielfachen von pi angeben, weil ihnen das andere zu ungenau ist.

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Die pi-Leute sind die Geizigen, die um jeden Krümel/Kalorie kämpfen. :))

Answer 2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x+%E2%88%92+1)%5E4*(x+%E2%88%92+7)%5E5

Comments

Hallo Gast2016,

danke für die Antwort, allerdings war dies nicht meine Frage.