Wie groß müssen die Seiten des Rechtecks sein?

Question

Kann mir bitte jemand bei folgender Textaufgabe helfen?


Mit einem 12 m langen Zaun soll an einer Hauswand ein Rechteck eingezäunt werden. Wie müssen die Seiten des Rechtecks gewählt werden, damit sein Flächeninhalt möglichst groß wird?


Danke für Eure Hilfe!

Liebe Grüße,

Sophie

Answer 1

Da ist sie wieder :-)

 

Fläche eines Rechtecks A = a * b

Nun haben wir den Umfang des Rechtecks, der aber nicht 2a + 2b beträgt, weil die Hauswand nicht zusätzlich mit Zaun bestückt werden muss. 

Der Umfang des Rechtecks beträgt deshalb nur

2a + b = 12

Wir lösen auf nach b: 

b = 12 - 2a

und setzen in die Flächenformel ein: 

A = f(a) = a * (12 - 2a) = 12a - 2a²

Wir müssen jetzt die 1. Ableitung bilden und diese = 0 setzen: 

f'(a) = 12 - 4a = 0

12 = 4a

a = 3

Da f''(a) = -4 ist, liegt also für a ein Maximum vor. 

2a + b = 12

2*3 + b = 12

b = 6

Gesamtfläche a * b = 18 m²

Bildchen: 

3 + 3 + 6 = 12

Machen wir zur Probe a ein wenig kleiner: 

2,9 * 6,2 = 17,98 < 18

und ein wenig größer: 

3,1 * 5,8 = 17,98 < 18

Passt :-)

 

Liebe Grüße

Andreas

 

P.S. Wie war Physik?

Answer 2

Da extra dabei steht, dass der Zaun an einer Hauswand stehen soll, ist diese Wand doch bestimmt, eine Seite des Rechtecks. Man muss also mit dem Zaun nur drei Seiten begrenzen.

Wenn a die Seite gegenüber der Hauswand ist, und b die andere Seite, dann ist die Hauptbedingung \(A(a,b)=ab\) und die Nebenbedingung \(a+2b=12m.\)

Aus der Nebenbedingung erhält man a=12-2b. Eingesetzt in die Hauptbedingung ergibt das \(A(b)=(12-2b)b=12b-2b^2.\)

Diese Funktion muss nun maximiert werden.

\(A'(b)=12-4b, A''(b)=-4.\)

Erste Ableitung Null setzen: \(12-4b=0\Rightarrow 4b=12\Rightarrow b=3m.\)

Außerdem ist \(A''(3)=-4<0\), also liegt an der Stelle tatsächlich ein Maximum vor.

Damit erhält man \(a=12m-2\cdot 3m=6m.\) Der Flächeninhalt beträgt dann \(A(a,b)=18m^2.\)

Die Seite gegenüber der Hauswand muss also 6m lang sein, und die beiden anderen Seiten 3m, damit der Flächeninhalt maximal wird.