Standardaufgaben Integralrechnung: Eingeschlossene Fläche?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie a > 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Fläche den angegebenen Inhalt A hat.

f(x) = -x²+2a²  

g(x) = x^2

A = 72

Problem/Ansatz:

Habe ich das so richtig gemacht ?

Comments

Nein.

\( \int{2a²\;dx}=2a²x \;(+c) \).

Answer 1

Berechne zuerst das unbestimmte Integral:$$\int_{}^{}(-2x^2+2a^2)\text{dx}$$$$\int_{}^{}(-2x^2)\text{dx}+ \int_{}^{}(2a^2)\text{dx}$$$$-\frac{2x^3}{3}+2a^2x$$ Benutze nun die Grenzen, um das bestimmte Integral zu berechnen:$$\bigg |\left(\frac{-2x^3}{3}+2a^2x\right)\bigg |_{-a}^{a}=72$$$$-\frac{2a^3}{3}+2a^2\cdot a-\left(-\frac{2\cdot (-a)^3}{3}+2a^2\cdot (-a)\right)=72$$$$\frac{8}{3}a^3=72$$$$\Longrightarrow a=3$$

Comments

Die Grenzen -a und a entnehme ich aber aus den Nullstellen bzw. Schnittpunkten oder?

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("Nullstellen" weglassen)

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Ja, das ist richtig. Aus den \(x\)-Werten der Schnittpunkte.

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Könntest du mir das für

f(x) = x^2

g(x) = ax

A = \( \frac{4}{3} \)

auch nochmal ausrechnen.

Habe da für a = -2 raus, soll ja aber für a>0 gelten.

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\(\dfrac{4}{3}=\displaystyle\int_{-a}^{a} [f(x) - g(x)]\, dx \\ \Leftrightarrow \displaystyle\int_{-a}^{a} [(x^2)-(ax)]\, dx =\int_{-a}^{a} x^2 \,dx - \int_{-a}^{a} ax \, dx \\ \Leftrightarrow \left [ \dfrac{2a^3}{3} \right ]_{-a}^a - 0 \Leftrightarrow \left [ \dfrac{2a^3}{3} \right ]_{-a}^a \\ \rightarrow \dfrac{2a^3}{3} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow a^3=2 \Rightarrow a=\displaystyle\sqrt[3]{2}\)

Probe: \(\displaystyle\int_{-\displaystyle\sqrt[3]{2}}^{\displaystyle\sqrt[3]{2}} [(x^2)-(\displaystyle\displaystyle\sqrt[3]{2}x) ]\, dx = \int_{-\displaystyle\sqrt[3]{2}}^{\displaystyle\sqrt[3]{2}} x^2\, dx=\dfrac{4}{3}\)

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|∫ (0 bis a) (x^2 - a·x) dx| = 4/3 --> a = -2 ∨ a = 2

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Habe da für a = -2 raus, soll ja aber für a>0 gelten.

Denk einfach daran, dass Flächen unterhalb der x-Achse beim Integrieren negativ berechnet werden.

Daher kannst du auch für die Fläche eben -4/3 einsetzen, wenn diese eben unterhalb der x-Achse entsteht.

So kommst du auf a = 2.