Analytische Geometrie: Gerade g soll in Ebene E liegen

Question

Gegeben ist im $\mathbb{R}^3$ die Ebene $$E: \space \begin{pmatrix} 3\\-7\\ 4 \end{pmatrix} \cdot \left( \vec{r} - \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix}\right) = 0$$Bestimmen Sie $a$ und $b$, so dass die Gerade $$g:\space \vec{r} (\lambda)=\begin{pmatrix} 4\\a\\-7 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} b\\7\\-7 \end{pmatrix}$$ in der Ebene $E$ liegt.

$a,b$ gesucht.

Ansatz:

$$b=\begin{pmatrix} 3\\-7\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b\\7\\-7 \end{pmatrix}= -25,67$$(den Normalvektor der Ebene zu bestimmen. Der Richtungsvektor der Geraden muss dann senkrecht auf diesen stehen?)

Ebene in Koordinatenform? $3x-7y+4z=-62$ (wenn ich versuche die Gerade einzusetzen, sind aber zu viele Unbekannte. Deshalb versucht nach $b$ aufzulösen...)

würde mich über einen Ansatz freuen.

Answer 1

E: (X - [-2, 4, -7])·[3, -7, 4] = 0 !!!
g: x = [4, a, -7] + r·[b, 7, -7]

Bestimme a und b so, dass g in E liegt.

Ebene in Koordinatenform bringen
E: 3·x - 7·y + 4·z = -62

Ortsvektor (Stützvektor) der Geraden einsetzen
3·(4) - 7·(a) + 4·(-7) = -62 → a = 46/7

Ortsvektor plus 1 mal Richtungsvektor der Geraden einsetzen
3·(4 + b) - 7·(46/7 + 7) + 4·(-7 + (-7)) = -62 → b = 77/3

Alternativ Normalenvektor der Ebene soll senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden sein

[3, -7, 4]·[b, 7, -7] = 3·b - 77 = 0 → b = 77/3

Nun ist das recht ungewöhnlich das so unschöne Brüche herauskommen. Das legt den Schluss nahe, dass ein Fehler in der Aufgabe oder der Rechnung vorliegt. Bitte also diesbezüglich mal sorgfältig Prüfen.

Comments

danke für die schnelle Antwort!

Answer 2

$\begin{pmatrix} 3\\ -7 \\ 4 \end{pmatrix}$ muss orthogonal (senkrecht) zum Richtungsvektor $\begin{pmatrix}b \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}$ sein. $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind orthogonal zueinander wenn $\vec{a} \circ \vec{b} = 0$. Also:$$\begin{pmatrix} 3\\ -7 \\ 4 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}b \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}=0$$$$3b-7\cdot 7+4\cdot (-7)=0 \quad \Longrightarrow b=\frac{77}{3}$$ Nun musst du Punkt a noch so bestimmen, dass er auf der Ebene liegt...