Quadratische Gleichung: ax^2 + bx + c = 0 → c(a - b)³ = a(c - b)³

Question

Ich habe Probleme mit dem Lösen der folgenden Aufgabe:

In the equation ax^2 + bx + c = 0, one root is the square of the other, without solving the equation, prove that c(a - b)³ = a(c - b)³.

Ich habe vielleicht nur beim ersten Teil schon Verständnisprobleme. Eine Wurzel ist das Quadrat der anderen?

Die Wurzel ist doch √(b² - 4ac) oder nicht?

Comments

Die Wurzeln sind die Lösungen der Gleichung.

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Ich denke, dass man dann mit \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) und \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\) schnell zum Ziel kommen sollte.

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Die Lösungen der Gleichung sind doch

a·x^2 + b·x + c = 0 --> x = -b/(2·a) ± √(b^2 - 4·a·c)/(2·a)

Aber wie gehe ich da weiter vor? Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch.

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@racine_carrée:
Hm...man bekommt dann etwa$$w^3+w^2+w=\dfrac{c-b}{a}.$$Doch wie geht es weiter?

PS, @Der_Mathecoach:
Es heißt "without solving the equation"!

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x_{1}=x_{2}^2

x_{2}^2+x_{2}=-b/a  → b=-ax_{2}(1+x_{2})

x_{2}^3=c/a  → c=a*x_{2}^3

Zeigen muss man c(a - b)³ = a(c - b)³ für beide Seiten zeigen:

c(a-b)^3 = a(a*x_{2}^3-(-ax_{2}(1+x_{2})))^3

a(c - b)³ = (a*x_{2}^3)(a - (-ax_{2}(1+x_{2})))³

Man kommt auf Rechte Seite = Linke Seite

q.e.d.

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Ich hab es mal einfacher gemacht und Zahlenwerte genommen:

Die Gleichung 1x^2 + 5x + 6 = 0 mit a = 1 ; b = 5 und c = 6

Jetzt gilt doch aber nicht 6(1 - 5)³ = 1(6 - 5)³

Achso ..  Jetzt check ich das denke ich. Wurzel hat nichts mit √ zu tun sondern mit der Lösung ... Ja. Sorry. Den ersten Tipp zu spät gerafft. Danke für die Hilfe. Ich denke jetzt schaff ich das ohne Probleme.

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Du doch sowieso :D

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Juhu ich habs:

If s and s^2 are the roots of the equation then
a·(x - s)·(x - s^2) = 0
a·x^2 + a·(-s - s^2)·x + a·s^3 = 0

In the equation
a·x^2 + b·x + c = 0
a = a ; b = a·(-s - s^2) ; c = a·s^3

c·(a - b)^3 = a·(c - b)^3
a·s^3·(a - a·(-s - s^2))^3 = a·(a·s^3 - a·(-s - s^2))^3
a·s^3·(a·(1 + s + s^2))^3 = a·(a·s·(s^2 + 1 + s))^3
a^4·s^3·(1 + s + s^2)^3 = a^4·s^3·(1 + s + s^2)^3
qed.

Answer 1

Hallo

 root bedeutet einfach Lösung.

d-h. wenn eine Lösung x=q ist ist die andere q^2

d.h es gilt aq^2+bq+c=0 und aq^4+bq^2+c=0

d.h -c=aq^2+bq=aq^4+bq^2

und dann soll die Gleichung gelten.

Gruß ledum

Comments

Danke. Hab es schon alleine hinbekommen.

Mein Problem war, dass ich mich mit root zu sehr auf die Wurzel versteift habe.

Ich hatte ja schon anfangs vermutet, dass genau dort mein Problem liegt. Hätte jemand mir übersetzt eine Lösung ist das Quadrat der anderen Lösung, dann wär das sonnenklar gewesen.

Trotzdem danke für die Antwort.