Berechne die Seitenlänge des Quadrates!

Question

Aufgabe:

Verkürzt man die Seitenlänge eines Quadrates um 3cm und verlängert die andere Seite um 7cm, so erhält man ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um 23cm² größer ist als der des ursprünglichen Quadrates.

Berechne die Seitenlänge des Quadrates!

Answer 1

Verkürzt man die Seitenlänge eines Quadrates

Seitenlänge des Quadrates ist x.

Flächeninhalt des Quadrates ist dann x².

um 3cm

Neue Seitenlänge ist dann x - 3 cm.

und verlängert die andere Seite um 7cm

Neue Seitenlänge ist dann x + 7 cm.

Flächeninhalt des Rechtecks ist dann (x - 3 cm)·(x + 7 cm).

dessen Flächeninhalt um 23cm² größer ist als der des ursprünglichen Quadrates.

Flächeninhalt des Rechtecks ist also auch x² + 23 cm².

Also

        (x - 3 cm)·(x + 7 cm) = x² + 23 cm².

Löse die Gleichung.

Answer 2

mache Dir eine Zeichnung:

rechts sind 3cm weg geschnitten, diesen Streifen legt man oben auf, dann bleibt rechts ein Quadrat von \(3\text{cm} \times 3 \text{cm} = 9 \text{cm}^2\) übrig. Wenn das vollständige Rechteck um \(23 \text{cm}^2\) größer ist, so muss das braune Rechteck aus eben diesen \(23 \text{cm}^2\) plus den \(9 \text{cm}^2\) aus dem überfälligen Quadrat bestehen.

Das braune Rechteck hat eine Höhe von \(7\text{cm} - 3\text{cm} = 4\text{cm}\) Also ist die Breite \(b_r\) des Rechtecks $$b_r = (23 \text{cm}^2  +9 \text{cm}^2) \div 4\text{cm} = 8\text{cm}$$ und die Seite \(s\) des ursprünglichen Quadrats ist $$s = b_r + 3\text{cm}  = 8\text{cm}+ 3\text{cm} = 11\text{cm} $$ siehe auch bei dieser Frage.

Gruß Werner

Answer 3

Ansatz:   (x-3)(x+7) = x^2 + 23