Grenzwert bestimmen l'Hospital. f(x) = ((x-2)(3x+1))/(4x-8) ; x->2.

Question

Aufgabe:

f(x) = ((x-2)(3x+1))/(4x-8) ; x->2.

Problem/Ansatz:

Da aufgrund des Nenners ein unbestimmter Ausdruck entsteht, muss man hier die Regeln von de  l'hospital anwenden.

Weiß aber .net wie. Ich würde irgendwie erstmal eine Elementarumformung des Zählers machen und dann mit der quotienteregel ableiten?

Danke voraus.

Comments

Du könntest auch mit der Produktregel lösen, wenn du (3x+1) extra berechnest.

Answer 1

Man muss eigentlich die Regeln von de l'Hospital nie anwenden. Manchmal darf man sie anwenden.

f(x) = ((x-2)(3x+1))/(4x-8) ; x≠2 (Definitionslücke bei x=2)

=  ((x-2)(3x+1))/(4(x-2))  | kürzen

= (3x+1)/4 , immer noch x≠2

Aber man kann hier problemlos x=2 einsetzen.

lim_(x->2) (f(x)= (3*2 + 1)/4 = 7/4 = 1.75

D.h. die Definitionslücke von f ist stetig hebbar, wenn man definiert:

f(2):= 1.75

Mit de l'Hospital ist das etwas umständlicher. Falls es ausdrücklich verlangt ist:

lim_(x->2) ((x-2)(3x+1))/(4x-8)

= lim_(x->2) (3x^2 - 6x + x - 2)/(4x-8)

= lim_(x->2) (3x^2 - 5 x - 2)/(4x-8)        | Hospital       (Zähler und Nenner separat ableiten)

= lim_(x->2) (6x - 5)/(4)         | 2 einsetzen

= (6*2 - 5)/4 = 7/4 = 1.75

Answer 2

Du kannst den Zähler schreiben in: 4(x-2) und dann x-2 kürzen.

Ergebnis: 7/4

Du "mußt" L'Hospital  nur dann anwenden, wenn es ausdrücklich in der Aufgabe gefordert wird, sonst nicht.