Steigung in den Nullstellen berechnen und Tangentensteigung aufstellen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x²-2x-3

Berechnen Sie die Steigung in den Nullstellen der Funktion und stellen sie dort die Tangentengleichungen auf.

Wie muss ich hier vorgehen?

LG

Answer 1

Nullstellen

Nullstellen bekommst du durch Lösen der Gleichung

        x² - 2x - 3 = 0.

Tangente

Kurzgefasst: für die Tangente t der Funktion f an der Stelle x₁ gilt

        t'(x₁) = f'(x₁)

        t(x₁) = f(x₁).

Löse das Gleichungssystem.

Detailierter: Tangenten sind lineare Funktionen, haben also die Funktionsgleichung

        t(x) = mx + n.

Du musst m und n bestimmen.

Die Tangente hat an der Stelle wo sie angelegt wird die gleiche Steigung wie die Funktion. Ist also x₁ eine Nullstelle von f, dann hat die Tangente dort die Steigung

        m = f'(x₁).

Damit kannst du m bestimmen. Außerdem hat die Tangente an der Stelle wo sie angelegt wird den gleichen Funkrionswert wie die Funktion. Ist also x₁ eine Nullstelle von f, dann gilt für die Tangente dort

        m·x₁ + n = x₁² - 2x₁ - 3.

Da du m bereits kennst, kannst du damit n ausrechnen.

Comments

Wie löse ich denn die Gleichung zu x auf.

Ansatzt: 0=x²-2x-3

              3=x²-2x

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Mit der pq-Formel; quadratische Gleichungen löst man mit der pq-Formel:

Ist

        x² + px + q = 0,

dann ist

        x = -p/2 ± √(p²/4 - q).

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Gibt es vielleicht noch einen anderen Weg die Steigung der Nullstellen zu berechnen? Die pq-Formel hatten wir noch gar nicht.

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Moment mal, erst ein mal geht es um die Nullstellen selbst, nicht um die dortige Steigung.

Die Nullstellen berechtnet man indem man die quadratische Gleichung löst. Die setzt man dann in die Ableitung ein um die Steigung zu bestimmen.

Ableitung hattet ihr schon, oder?

Die pq-Formel hatten wir noch gar nicht.

Das kann ich mir kaum vorstellen, normalerweise wird sie spätestens in Klasse 10 behandelt.

Ihr hattet aber sicherlich ein Verfahren wie man quadratischer Gleichungen löst. Quadratische Ergänzung?

\(\begin{aligned} x^{2}+px+q & =0 &  & |\,-q\\ x^{2}+px & =-q &  & |\,+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}\text{ (quadratische Ergänzung)}\\ x^{2}+px+\left(\frac{p}{2}\right)^{2} & =\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q &  & \text{binomische Formel}\\ \left(x+\frac{p}{2}\right)^{2} & =\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q &  & |\,\sqrt{\phantom{{1}}}\\ x+\frac{p}{2} & =\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} &  & |\,-\frac{p}{2}\\ x & =-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} &  & \text{Potenzgesetze}\\ x & =-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q} \end{aligned}\)

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"Die pq-Formel hatten wir noch gar nicht. "

Welches Verfahren zur Lösung quadratischer Gleichungen verwendet ihr denn dann?

abc-Formel (auch Mitternachtsformel genannt) oder quadratische Ergänzung?

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eigentlich die quadratische Ergänzung. Das ist aber schon lange her, dass wir anwenden mussten

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"Das ist aber schon lange her, dass wir anwenden mussten"

Na und?

JETZT hast du eine quadratische Gleichung, also brauchst du JETZT ein Lösungsverfahren dafür (auch wenn du das schon vor vielen Jahren kennengelernt hast).

Tipp: Addiere 4 auf beiden Seiten.

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Das ist aber schon lange her

Der Schüler meint damit "Das habe ich schon wieder vergessen".

Der Lehrer hört daraus "Das kann der Schüler schon lange".

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Irgendein Lösungsverfahren zum lösen von quadratischen Gleichungen solltest du beherrschen. Das wirst du immer wieder brauchen. Die pq-formel ist eigentlich immer praktisch.

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@abakus warum soll ich 4 auf beiden Seiten addieren?

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Weil das die quadratische Ergänzung zu x² - 2x ist. Dann kannst die binomische Formel anwenden indem du x² - 2x + 4 zu (x-2)² umformst.

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"Dann kannst die binomische Formel anwenden indem du x² - 2x + 4 zu (x-2)² umformst."

Nein. Man muss 1 addieren, um x²-2x zu (x-1)² zu ergänzen. und man muss (vorher) 3 addieren, um aus x²-2x-3 das störende -3 zu entfernen.

Statt in zwei Schritten erst 3 und dann 1 zu addieren, kann man gleich 4 addieren.

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an muss 1 addieren, um x²-2x zu (x-1)² zu ergänzen

Manchmal denke ich mir, ich sollte mir Denken angewöhnen. Dann denke ich mir, dass kann ich doch unmöglich gedacht haben. Ein Teufelskreis.

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dann steht dort 7=(x-2)²

und dann? Was nützt mir jetzt die Binomische Formel?

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Ich kann einfach die Wurzel ziehe, oder?

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Nein. Deine Gleichung war

x² - 2x - 3 = 0

4 addieren:

x² - 2x + 1 = 4

Bin. Formel (hier hatte oswald einen Fehler):

(x-1)²=4

Folgerung:

x-1 = 2 oder x-1 = -2

Also ist x ... oder ....

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warum kann ich nicht zu Anfang +3 nehmen. Also, 3=x²-2x

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Das kannst du (habe ich aber auch geschrieben). Und jetzt musst du noch +1 rechnen.

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achso ok, dann hatte ich dich falsch verstanden.

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Wie rechne ich denn n aus? Bei der Tangentengleichung?

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z.B. für die Nullstelle bei x = -1

Tangentengleichung y = mx + n

m = -4

Jetzt Koordinaten der Nullstelle einsetzen:

0 = -4·(-1) + n

-4 = n

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Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x² - 2x- 3 

Wie berechne ich da die Steigung der nullstelle ?

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mit der 1. Ableitung

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Und wie stelle ich dann die tangentengleichung auf?

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y = mx + n

m = Steigung = 1. Ableitung = hier -4

Rest s. oben

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Ok. Tausend dank!

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Was ist die erste Ableitung für die Gleichung?

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f'(x) = 2x - 2

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Also ist dann 2x-2 die Steigung der nullstelle ?

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Eine Nullstelle ist bei x = -1, also setzt du -1 in die Ableitungsfunktion ein

\(f'(-1)=2\cdot (-1)-2=-2-2=-4\)

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Also ist -4 die Steigung der nullstelle ?

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Ja, bei der Nullstelle x = -1

Es gibt auch noch eine bei x = 3, dort ist die Steigung eine andere.

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Aber welche Steigung der nullstelle zählt den jetzt bei der gegeben Gleichung? Ich soll ja für die gegebene Gleichung die Steigung der nullstelle berechnen

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Berechnen Sie die Steigung in den Nullstellen der Funktion und stellen sie dort die Tangentengleichungen auf.

Plural: Tangentengleichungen

Es gibt zwei Nullstellen und entsprechend sind zwei Tangentengleichungen aufzustellen.