Steckbriefaufgabe: Funktion 4. Grades berührt im Ursprung als auch bei x = 4 die x-Achse

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades berührt sowohl im Ursprung als auch an der Stelle \(x=4\) die x-Achse. Im Punkt \(P(1/y_1)\) hat der Graph die Steigung 12.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand den Rechenweg beschreiben und mir die Lösung geben.

Comments

Im punkt P(1/y1)an der Graph die steigung 12.

Hier fehlt was.

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Ja, vor allem fehlt es an der Rechtschreibung.

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"berührt im Ursprung als auch an der Stelle \(x=4\) die \(x\)-Achse"

Ansatz:

\(f(x)=a(x-4)^2\cdot x^2\)

\(f'(x)=4a(x-4)(x-2)x\)

\(12=4a\cdot (1-4)\cdot (1-2) \quad \Longrightarrow a=1\)

\(f(x)=(x-4)^2\cdot x^2\)

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Sehr gut Anton!              .

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Danke, das spart Schreibarbeit. Die allgemeine Herangehensweise hast Du schon unten geschrieben.

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Danke euch allen hat mir sehr geholfen

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion 4.Ordnung sieht so aus: $$f(x)=ax^4+bx^3 + cx^2+dx+e$$ Die Information 'berührt die X-Achse' bedeutet, dass dies ein Punkt der Funktion ist und die Steigung der Funktion an dieser Stelle \(=0\) ist. Also formal heißt das: $$\begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f'(0) &= 0 \\ f(4)&= 0 \\ f'(4) &= 0 \end{aligned}$$ das sind vier Bedingungen. Die 5. Bedingung lautet: 'bei \(x=1\) ist die Steigung \(=12\)'. $$f'(1)=12$$Damit haben wir fünf Bedingungen für die fünf Unbekannten \(a\) bis \(e\). Die Steigung der Funktion ist $$f'(x)= 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$$Einsetzen gibt: $$\begin{aligned} 0 &=a\cdot 0^4+b\cdot 0^3 + c\cdot 0^2+d\cdot 0+e && \implies e=0 \\ 0 &= 4a\cdot 0^3 + 3b\cdot 0^2 + 2c\cdot 0 + d && \implies d=0 \\ 0 &= a\cdot 4^4+b\cdot 4^3 + c\cdot 4^2+d\cdot 4+e \\ 0 &= 4a\cdot 4^3 + 3b\cdot 4^2 + 2c\cdot 4 + d \\ 12 &= 4a\cdot 1^3 + 3b\cdot 1^2 + 2c\cdot 1 + d\end{aligned}$$Es bleiben noch die Unbekannten \(a\) bis \(c\):$$\begin{aligned} 256a + 64b + 16c &= 0 \\ 256 a + 48b + 8c &= 0 \\ 4a + 3b + 2c&= 12 \end{aligned}$$Dividiere die erste Gleichung durch 16 und die zweite durch 8 und ziehe die erste von der zweiten ab. $$\begin{aligned} 16a + 4b + c &= 0 \\ 16 a + 2b + 0c &= 0 \end{aligned}$$dann dividiere die zweite Gleichung durch 2 ziehe das doppelte der ersten von der letzten ab:$$ \begin{aligned} 16a + 4b + c &= 0 \\ 8 a + b + 0c &= 0\\ -28a -5b + 0c &= 12 \end{aligned}$$ jetzt noch da 5-fache der zweiten zur dritten addieren$$12a + 0b + 0c = 12 \quad \implies a = 1$$Die anderen Lösungen sind \(b=-8\) und \(c=16\). Die gesuchte Funktion lautet also: $$f(x)= x^4 - 8x^3 + 16x^2$$~plot~ ((x-8)x+16)x^2;[[-3|7|-1|20]];{1|9};12(x-1)+9 ~plot~

und der Plot zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion des 4.Grades ...

$$ g(x)=  a\cdot x^4+b \cdot x^3 +c \cdot x^2 +d \cdot x+ e$$

berührt ( ... ) im Ursprung ( ... ) die x-Achse =>

$$ g(0)=  0$$

$$ 0=  a\cdot x^4+b \cdot x^3 +c \cdot x^2 +d \cdot x+ e \quad \vert \quad x\rightarrow 0$$

$$ 0=  a\cdot 0^4+b \cdot 0^3 +c \cdot 0^2 +d \cdot 0+ e$$

berührt ( ... ) im Ursprung ( ... ) die x-Achse =>
$$ g'(0)=  0$$
$$ 0=  4 a\cdot x^3+3b \cdot x^2 +2c \cdot x +d \quad \vert \quad x\rightarrow 0$$

berührt ( ... ) an der stelle: 4 die x-Achse =>

$$ g(4)=  0$$
$$ 0=  a\cdot 4^4+b \cdot 4^3 +c \cdot 4^2 +d \cdot 4+ e$$

berührt ( ... ) an der stelle: 4 die x-Achse =>

$$ g'(4)=  0$$

$$ 0=  4 a\cdot x^3+3b \cdot x^2 +2c \cdot x +d \quad \vert \quad x\rightarrow 4$$

Im punkt P(1/y1)an der Graph die steigung 12.

$$g'(1)=12$$

Rest kannst Du sicher selbst fertig berechnen, oder?

Comments

Bei uns sieht das ganz anders aus

Bei uns muss das so aussehn könnt ihr mir da auch weiterhelfen oder ist euer rechenweg auch richtig

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Bei uns sieht das ganz anders aus

Ja - diese Funktion ist vom Grad 3. Du fragtest aber oben nach einer Funktion 4.Grades.

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Das heißt euer rechen weg ich richtig

Und wie ist das mit dem gleichungssystem weil das versteh ich nicht weil da alles in klammer ist ubd ich nicht weiß wie ich das auf schreiben muss

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Und wie ist das mit dem Gleichungssystem weil das versteh ich nicht ..

ich habe Dir das noch mal ausführlich hin geschrieben (s. meine Antwort)