Isometrien - Lineare Abbildungen

Question

Liebe Community,

wie kann man folgendes zeigen?

"Zeigen Sie, dass jede Isometrie auf R^n, die den Ursprung festhält, eine lineare Abbildung ist".

Vielen Dank vorab!

Answer 1

Findest du dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Abbildung#Linearität

Sei f eine Isometrie auf R^n und seien u und v aus R^n.

Wähle als Ansatz das Skalarprodukt von

f(u+v) - f(u) - f(v)  mit sich selbst, also

< f(u+v) - f(u) - f(v) , f(u+v) - f(u) - f(v) >

 und zeige, dass sich das durch die

Eigenschaften des Skalarproduktes umformen lässt zu

< f(u+v) , f(u+v) > - 2 < f(u+v) , f(u) > … etc.

und wegen der Isometrie kannst du das f überall weglassen

= <u+v,u+v>  - 2 < u+v , u > .

und es hebt sich alles weg und ergibt 0.

Also ist   f(u+v) - f(u) - f(v)  der 0-Vektor

und damit  f(u+v) = f(u) + f(v)  gezeigt.

Für die Homogenität betrachte entsprechend

das Skalarprodukt von f(x*v) - x*f(v)

mit sich selbst.

Comments

@mathef:

Für die Homogenität betrachte entsprechend das Skalarprodukt von
f(x*v) - x*f(v) mit sich selbst.

Ich stoße dabei u.a. auf den Term $$2x \cdot \left< f(x \cdot v), \, f(v)\right>$$ es ist für mich nicht unmittelbar ersichtlich, dass dieser Ausdruck wegen der Isometrie identisch ist zu $$2x \cdot \left< x \cdot v, \, v\right>$$könntest Du das nochmal erläutern.

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Isometrie heißt doch

<f(a),f(b)> = <a,b>

hier ist a=x*v und b=v

Die 2x davor haben damit nicht zu tun.

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Isometrie heißt doch
<f(a),f(b)> = <a,b>

genau das meine ich, wieso ist das so?

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Das ist einfach nur die Definition:

Das Skalarprodukt  der

Originale ist gleich dem Skalarprodukt

 der Bilder.

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Hi Mathef, vielen Dank für deine ausführliche Rückmeldung! Kannst du mir kurz erläutern, was bei f(x*v) - x*f(v) rauskommen muss?