Beweisen von linearen Isometrien

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Matrizen D = \(\frac{1}{9}\) \(\begin{pmatrix} 8 & 1 & -4\\ 4 & -4 & 7\\ -1 & -8 & -4\end{pmatrix}\)
S = \(\frac{1}{9}\) \(\begin{pmatrix} 1 & 8 & 4\\ 8 & 1 & -4\\ 4 & -4 & 7\end{pmatrix}\)

a) Zeigen Sie, dass D und S darstellende Matrizen von linearen Isometrien sind und D eine
Drehung im ℝ³ ist.
b) Die Matrix S entspricht einer Spiegelung an einer Ebene E mit 0 ∈ E. Bestimmen Sie
diese Ebene.
Hinweis: Überlegen Sie sich, worauf S den Normalenvektor dieser Ebene abbildet und
stellen Sie ein Gleichungssystem für den Normalenvektor auf.
c) Zeigen Sie, dass die Gerade G = ℝ \( \begin{pmatrix} 5\\1\\-1 \end{pmatrix} \) die Drehachse von R ist. Bestimmen Sie den Drehwinkel von R.
Hinweis: Benutzen Sie einen zu G orthogonalen Vektor und dessen Bild nach Anwendung
von R. Bestimmen Sie dann den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider das ganze Thema mit den Isometrien nicht ganz, und auch das ganze mit den Drehungen. Ich wäre über Hilfe dankbar.

Answer 1

a) Isometrie:  Zeige, dass für alle Vektoren v∈ℝ^3 gilt ||v||=||D·v||.

b) Ansatz S*v = -v ergibt z.B. v = (-2;2;1)^T

Das ist der Normalenbvektor.

c) Das R ist wohl das D.

Zeige, dass D*(5;1;-1)^T =(5;1;-1)^T

also die Punkte auf der Drehachse fest bleiben.

Und dazu senkrechte Vektoren ( wie (0;1;1) und (1;-5;0) )

um 120° gedreht werden.