Beweise in der Universität

Question

die Aufgabe lautet:

Seien (G,◦) eine Gruppe und e ∈ G das neutrale Element dieser Gruppe. Ferner sei a' ∈ G das inverse Element von a ∈ G bezüglich ◦.

a) Zeigen Sie, dass (b'◦a') ∈ G das inverse Element von (a◦b) ∈ G ist.

b) Beweisen Sie die folgende Aussage. Sei a ∈ G beliebig. Wenn stets a◦a = e gilt, dann ist (G,◦) eine abelsche Gruppe.

c) Beweisen Sie die folgende Aussage. Seien a,b ∈ G beliebig. Wenn stets (a◦b)◦(a◦b) = (a◦a)◦(b◦b) gilt, dann ist (G,◦) eine abelsche Gruppe.

Hinweis: Wenn Terme oder Gleichungen umgeformt werden, muss dies begründet geschehen.

Zwar verstehe ich die Theorie in der Uni, aber mir fällt es immer noch schwer diese Theorie auf Aufgaben zu übertragen. Vll könnt ihr mir ja helfen. Wäre lieb.

LG

Comments

Gerade weil einem der Anfang schwer fällt, sollte man es erst mal selbst versuchen, mit den Behauptungen und Gleichungen "rumspielen"

fang doch mal damit an (a'*b')*(a*b) mit bekannten Gesetzen umzuformen.

entsprechend mit ab ba wenn aa=1 und bb=1

ES GIBT NICHTS GUTES, AUßER MAN TUT ES.

und dann sage, wie weit du kommst und wo du noch scheiterst.

Gruß lul

Answer 1

In eine Gruppe ist die Operation ◦ assoziativ.

(b'◦a') ◦ (a◦b) kann also auch mit b'◦(a' ◦ a) ◦b berechnet werden. Und was kommt da raus?

Denkanstoß zur zweiten Frage:

"Wenn stets a◦a = e gilt,"

- was ergibt dann   (a◦b)◦ (a◦b)?

- was ergibt (a◦b)◦ (b◦a)?