Parameter einer Matrix: Für welche α ∈ ℝ ist die Matrix singulär?

Question

Gegeben ist die folgende von einem Parameter α∈ℝ Abhängige Matrix.

\( \begin{pmatrix} α+2 & 0 & (α-4)(α+5) & -2α-4 \\ 1 & -5 & 6 & -2 \\ 0 & 0 & α-4 & 0 \\ 2 & 3α+5 & 12 & α+1  \end{pmatrix} \) ∈ ℝ^4x4

Bestimmen Sie mit Hilfe der Determinante, für welche α ∈ ℝ die Matrix singulär ist. 

Sortieren Sie Ihre berechneten Werte α₁, α₂, α₃ aufsteigend, wenn gilt:

α₁< α₂< α₃

Sry, aber ich weiß leider nicht wie man die Indizeeinstellung wieder zurücksetzt. Würde mich trotzdem über eine Antwort freuen. Viel Dank im Voraus.

Comments

Du musst die Determinante nullsetzen.

Entwickle die Determinante zuerst nach der dritten Zeile.

Answer 1

Du musst um eine Dimension reduzieren, danach kannst du mit der Regel von Sarrus weitermachen. Um zu reduzieren, entwickelst du nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz nach der dritten Zeile (dort sind viele Nullen):$$\begin{vmatrix} α+2 & 0 & (α-4)(α+5) & -2α-4 \\ 1 & -5 & 6 & -2 \\ 0 & 0 & α-4 & 0 \\ 2 & 3α+5 & 12 & α+1  \end{vmatrix}$$$$=(\alpha -4)\cdot \underbrace{\begin{vmatrix}\alpha +2 & 0 & -2\alpha -4 \\1 & -5 &-2 \\ 2 & 3\alpha +5 & \alpha +1 \end{vmatrix}}_{=-5\alpha^2-35\alpha-50}$$$$(\alpha -4)\cdot \underbrace{(-5\alpha^2-35\alpha-50)}_{=(\alpha+5)(\alpha+2)}=0$$$$(\alpha -4)(\alpha+5)(\alpha+2)=0$$ Die Matrix ist also für die Werte \(\alpha=-5\) oder \(\alpha=-2\) oder \(\alpha=4\) eine singuläre.

Comments

Um eine Dimension reduzieren wir ja, da die Regel von Sarrus nur bis 3x3-Matrizen angewendet werden kann, oder?

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Richtig! Das vereinfacht die Rechnung.