Es gibt ein Polynom q so dass : p(x)=(x-a)q(x) für alle x, wenn a eine Nullstelle von p(x) ist.

Question

Ist P ein Polynom und P(a)=0 für eine Zahl a, so gibt es ein Polynom Q so dass gilt:

P(x)=(x-a)Q(x)
für alle x

 Es gibt ein Polynom q so dass : p(x)=(x-a)q(x) für alle x, wenn a eine Nullstelle von p(x) ist.

Comments

Sollst du das beweisen?

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Offenbar kann man das mit Hilfe der Polynomdivision zeigen. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle : 

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Deinen Kommentaren liegt ein gewisser Konstruktivismus zugrunde.

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Ich habe ebenfalls probleme mit dieser Aufgabe. Habe mir soeben die Polynom-Division angeschaut, weiss aber immer noch nicht so recht wie ich hier anfangen soll.

kann mir einer vielleicht erklären wie ich hier die Polynom-Division anwenden muss?

Answer 1

Der Polynomring \(K[x]\) in einer Unbestimmten

über dem Körper \(K\) ist ein euklidischer Ring bzgl. der "Betragsfunktion"

\(Grad\) eines Polynoms.

Zu \(P\) und \((x-a)\) gibt es Polynome \(Q\) und \(R\)

mit \(P(x)=(x-a)Q(x)+R(x)\), wobei

\(Grad(R)<Grad(x-a)=1\) ist.

Damit ist \(R\) eine Konstante und es gilt:

\(0=P(a)=(a-a)Q(a)+R\), also \(R=0\).