Differenzierbarkeit von f zeigen

Question

Aufgabe:

Es sei D⊂R, f:D→R und x0∈D. Es gebe mindestens eine Folge (xn) mit xn∈D, xn≠x0 und lim n→∞ xn=x0. Zeigen Sie:f ist genau dann in x0 differenzierbar,

wenn es eine Zahl c∈R und eine in x0 stetige Funktion r:D→R gibt mit:

1.f(x) =f(x0) +c(x−x0) +r(x)(x−x0) für alle x∈D.

2.r(x0) = 0.

In diesem Fall ist c=f′(x0)

Answer 1

f diffb in xo heißt ja:

Für jede Folge (x_n) _n∈ℕ , die gegen xo geht gilt:

Es gibt ein c mit

lim (n gegen ∞)   ( f(xn) - f(xo) ) / ( xn - xo) = c     #

Lt. Voraussetzung gibt es eine solche Folge, die gegen xo geht,

und wegen der Stetigkeit von r in xo gilt für alle solche

Folgen   lim (n gegen ∞) r(xn) = r(xo) .

wegen 1. gilt für alle n∈ℕ

.f(xn) =f(x0) +c(xn−x0) +r(xn)(xn−x0)

<=>  ( f(xn) -f(x0) ) / ( xn - xo)   -  c   = r(xn)

also für n gegen unendlich

      lim (n gegen ∞)   ( f(xn) - f(xo) ) / ( xn - xo)    -    c   =  r(xo) = 0  (wegern 2.).

Damit ist # gezweigt.

andere Richtung entsprechend: Definiere

r(x) = ( f(x) -f(x0) ) / ( x - xo)   -  f'(xo)   = r(xo)  und zeige

für alle Folgen xn, die gegen xo gehen

 lim (n gegen ∞) r(xn) = r(xo).

Also  ist r stetig in xo.