Analytische Geometrie: Gegeben ist ein Schnittwinkel von 45 Grad, gesucht wird der Wert u der Ebene

Question

Aufgabe:

Für welchen Wert u schliesst die Ebene E: 4x + uz - 1 = 0 mit der xy-Ebene einen Winkel von 45 Grad ein?

Problem/Ansatz:

Ich wollte den Winkel der beiden Normalenvektoren der Ebenen berechnen, denn dieser sollte ja auch 45 Grad ergeben, da 90 Grad minus der Winkel der Normalenvektoren den Winkel der Ebenen ergibt.

Leider komme ich nicht klar damit, das ganze nach u aufzulösen. Ist mein Ansatz falsch oder rechne ich vielleicht einfach flasch beim auflösen?

für die Hilfe!

Comments

Hier stand etwas redundantes.

Answer 1

Vorbereitung:

Die Koordinantengleichung der xy-Ebene ergibt sich aus \(E: 0x+0y+z=0\). Den Normalenvektor kannst Du einfach ablesen \(\vec{n_1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das gilt natürlich auch für die Ebenenschar \(\vec{n_2}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ u \end{pmatrix}\). Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkel ist:$$\varphi=\arccos\left(\bigg |\frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}||\cdot ||\vec{n_2}|| } \bigg |\right)$$ Zähler:$$\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ u \end{pmatrix}=0\cdot 4+0\cdot 0+1\cdot u=u$$ Nenner:$$||\vec{n_1}||\cdot ||\vec{n_2}||=\sqrt{0^2+0^2+1}\cdot \sqrt{4^2+0^2+u^2}=\sqrt{u^2+16}$$

Rechnung:

Du löst also:$$\arccos\left(\frac{u}{\sqrt{u^2+16}}\right)=45° \quad |\cos(...)$$ $$\frac{u}{\sqrt{u^2+16}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Kreuzmultiplikation:$$2u=\sqrt{2(u^2+16)}$$$$2u=\sqrt{2u^2+32}$$$$2u=\sqrt{2u^2+32} \quad |\uparrow ^2$$$$\Longleftrightarrow \quad 4u^2=2u^2+32$$$$u^2=16 \quad \Longrightarrow u_1=4 \quad \vee \quad u_2=-4$$Nach Einsetzprobe stellt sich heraus, dass nur \(u_1\) eine Lösung der Gleichung ist.

Comments

Nach Einsetzprobe stellt sich heraus, dass nur u₁ eine Lösung der Gleichung ist.

Das stimmt nur für die Gleichung selbst. Diese ist aber bereits eine Einschränkung, da \(-45°\) auch eine Lösung darstellt \(\cos( 45°) = \cos( -45°)\). Es wurde in der Aufgabe kein Unterschied bzgl. einer 'Richtung' von Ebene oder Normalenvektor gemacht.

Also sind beide Lösungen \(u= \pm 4\) gültig.

---

Hast recht...