Funktionsfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen.

Question

Untersuchen Sie die Funktionenfolgen (fn) n = 1 auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.

i) fn: [0,1] → ℝ, fn(x) = n³x/(1+(nx)³)

ii) fn: [1/2 ,1] → ℝ, fn(x) = n³x/(1+(nx)³)

iii) fn: [0,1] →ℝ, fn(x) = (n³x)^1/n

Ich habe keine Idee wie ich die Aufgabe lösen kann.

Answer 1

I:  punktweise Konvergenz:  Für x=0 sind alle Folgenglieder 0,

also Grenzwert 0.

Für x>0 gilt   n^3*x / ( 1 + n^3 * x^3 ) = x / ( 1/n^3   +  x^3 )

und für n gegen unendlich geht 1/n^3 gegen 0 , also Grenzwert

   x / x^3 =   1 / x^2.

Konvergenz ist nicht gleichmäßig, denn dann müßte f_n gegen eine auf [0;1]

stetige Grenzfunktion konvergieren, das tut es aber offenbar nicht.