f : V → W vom Rang 1 ist von der Form f(v) = ϕ(v) · w für ein gewisses ϕ ∈ V∗ und ein gewisses w ∈ W.

Question

Aufgabe:

Seien V und W Vektorräume über einem Körper K.

Zeigen Sie: Jede lineare Abbildung f : V → W vom Rang 1 ist von der Form f(v) = ϕ(v) · w für
ein gewisses ϕ ∈ V^∗ und ein gewisses w ∈ W.

Problem/Ansatz:

Da die lineare Abbildung von Rang 1 ist, ist sie ja nach dem gaußschen Eliminationsverfahrens nur eine Zeile.

Wieso ist nun ein Wert des Dualraums multipliziert mit einem w gleich f(v)?

Comments

Es ist auch eine Konsequenz aus dem Darstellungssatz von Riesz.

Answer 1

Für jede lineare Abbildung f : V → W vom Rang 1 ist f(V) eindimensional,

also gibt es für f(V) eine Basis mit einem Element  w ∈ W.

Für jedes  v ∈ V gibt es also ein  Φ(v) ∈ K mit f(v) =Φ(v) *w.

Bleibt zu zeigen, dass Φ eine Linearform von V nach K ist.

Seien also u,v ∈ V . Dann gilt einerseits  f(u+v) = f(u) + f(v)   #

aber auch  f(u+v) =Φ(u+v)  *w  und

                 f(u) =Φ(u)  *w

                 f(v) =Φ(v)  *w

Mit # folgt   Φ(u+v) *w   =Φ(u)  *w   + Φ(v)  *w

<=>              Φ(u+v) *w   =( Φ(u)  + Φ(v) ) *w

und wegen der Eindeutigkeit der Basisdarstellung

                        Φ(u+v)   = Φ(u)  + Φ(v)

Entsprechend auch Φ(x*u) = x*Φ(u)  .

Φ ist also eine Linearform.