Bestimmen Sie Dimensionen für folgende Untervektorräume

Question

Aufgabe:

Im R⁴  seinen U₁ der von den Vektoren (-1,3,-2,2) , (2,4,-5,0) , (1,-2,3,1) erzeugte Unterraum und U₂  der von den Vektoren (1,3,-1,4) , (1,-2,0,-3) erzeugte Unterraum. Bestimmen Sie dimU₁, dim U₂, dim(U₁+U₂) und dim(U₁∩U₂).

Ansatz: Ich muss ehrlich sagen das ich das noch nicht so richtig verstanden habe und hoffe das ich das zu mindestens Ansatzweise schon mal richtig angegangen bin. Ich habe folgdenes gemacht.

\( \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & -2\\ -2 & -5 & 3\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) wie folgt berechnet

\( \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 10 & 1\\ 0 & 0 & 51\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)  Daraus schließe ich das U₁= Dimension 2 ist.

Das selbe hab ich nun auch mit U₂ gemacht

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \\ -1 & 0 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \)  dort habe ich folgendes raus

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -5 \\ 0& 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \) Daher komm ich für U₂=Dimmension 1

Habe ich das bis hier richtig gemacht?

Wie berechne ich nun dim(U1+U2) und dim(U1∩U2). Da steh ich leider komplett auf dem Schlauch.

Danke für Hilfe 

Answer 1

Nach der Umformung der ersten Matrix hast

du 3 Stufen, also dim=3  (nicht 2).

Du hättest ja die letzte Zeile komplett mit

0en füllen können.

Und bei der zweiten dim=2.

(Die letzten beiden Zeilen hättest du auch zu

0-Zeilen machen können.

Dann gilt immer:

dim = Zeilenzahl minus Zahl der 0-Zeilen.

Für  dim(U1+U2) schreibst du einfach alle 5 Vektoren in

eine Matrix und formst um.

Und für das letzte die Dim-Formel

dim(U1+U2)  = dim(U1) + dim(U2) - dim(U1∩U2)

Comments

Danke erstmal für deine Antwort. Ich hab das nun so verstanden für dim(U₁+U₂) errechne ich die Dimension wie bereits für U₁ und U₂ nur das ich das alles in eine Matrix schreibe.

Könntest du es mir aber bitte einmal an der dim(U1∩U2) zeigen? weil das hab ich nicht ganz verstanden. Weil ich diese muss ich ja auch erstmal ausrechnen bevor ich sie von denn anderen beiden Abziehen kann.

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Habe nun auch wie du geschrieben hast mal alle 5 Vektoren in eine Matrix geschrieben und erhalte da dann folgendes

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -5 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 11 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Da ich hier nun 2 Stufen habe mit Nullen (weil mehr kann ich hier ja nicht machen) habe ist also für dim(U₁+U₂)=2.

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Nein, du kannst noch machen:

3. Zeile * (-3) addieren zu 4. Zeile * 11 .

Dann bekommst du 4 Stufen, also gar keine

Nullzeile, also ist dim (U1+U2) = 4

und damit

dim(U1+U2)  = dim(U1) + dim(U2) - dim(U1∩U2)
           4         =      3      +       2     - dim(U1∩U2)

also   dim(U1∩U2) = 1

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Hab das eben nochmal gemacht also denn letzen schritt von U1+U2 und dann komm ich aber doch auf dim3 weil dann steht ja nur noch 0 0 0 2 2 in der 4ten Zeile.

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dann steht ja nur noch 0 0 0 2 2 in der 4ten Zeile.
aber in der 3. Zeile 0 0 11  3 3

Also gibt es KEINE 0-Zeile und damit

dim = 4 - 0 = 4.