LGS zu Ebenengleichung in R^4 umformen

Question

Aufgabe:

gegeben ist eine Matrix der Form

Die Lösung dazu ist

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich auf diese Lösung komme und diese auch überhaupt nicht verstehe. Wieso habe ich eine Ebenengleichung(falls ich das richtig sehe) als Lösung eines LGS? und wie komme ich auf diese Form? Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Tja, wenn Du den Gauss auf das LGS los lässt, dann erhältst Du irgenwann mal

\(\left(\begin{array}{rrrrr}1&2&3&4&1\\0&1&\frac{3}{2}&2&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

es gibt also nur 2 unabhängige Gleichungen und damit können 2 der 4 Variablen bestimmt werden. Schaffst Du das bis hier her?

Nach der Rücksubstitution

\(\left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&-1\\0&1&\frac{3}{2}&2&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

damit kannst Du x1 und x2 angeben, x3=t, x4=s bleiben unbestimmt...

Comments

ok... und was bedeutet "unbestimmt"? Was hat das mit der Ebenengleichung zutun?

---

Nun, wenn Du nur 2 Gleichung übrig hast, kannst Du auch nur 2 Variablen berechnen - in unserem Fall waren das x1 und x2, die anderen beiden können NICHT bestimmt werden: x3 bzw. x4 können alle Werte des Definitionsbereiches annehmen - das steht auch so in deiner Lösung für x3 wurde t und für x4 wurde s geschrieben s,t ∈ ℜ.

Mach Dir das eine Dim tiefer klar. 2 Ebenen schneiden sich - das sind 2 Gleichungen bei 3 Koordinaten x,y,z -  wenn es eine Schnittgerade gibt muss eine der Koordinaten unbestimmt bleiben, die dann den Laufparameter, sagen wir z=λ, der Geraden abgibt.

x+y+z+1=0

2x-y-z+2=0

===>

x + z = - 1
y + z = 0

===> z=λ

x     -1 + λ
y =  0  - λ
z     0  + λ

---

Heißt das damit auch, dass das LGS von Anfang an nicht lösbar sein kann, da ich 3 Gleichungen aber 4 Variable habe?

---

Nein, das heißt es nicht. Das heißt nur, das eine Lösung eventuell nicht nur aus EINEM, sondern aus sehr vielen (unendlich vielen) Punkten (Gerade, Ebene, usw.) bestehen könnte.

Eine Standardfrage ist die Untersuchung von LGS auf die Frage: lösbar - nicht lösbar - eindeutige Lösung.

Denk doch nochmal das Ebenenbeispiel durch. Welche Lösungen sind beim Schneiden 2er Ebenen zu erwarten?

---

also kann ich mir die 3 Gleichungen wie Ebenengleichungen In Koordinatenform vorstellen?

---

und was wäre, wenn ich nach dem Lösen nach Gauß nur Elemente in der ersten Zeile hätte? also 4 Unbekannte in einer Gleichung? Müsste ich dann 3 freie Parameter wählen?

---

Ja.                                             .

---

Und das wäre dann geometrisch ein Raum?

---

Na ja, das ist mit Vorsicht zu genießen. Die "Ebene" von vorhin ist ja auch keine klassische Ebene innerhalb eines dreidimensionalen Raums, sondern innerhalb eines vierdimensionalen "Überraums".

---

Richtig, sagen wir was räumliches

manche sagen auch Hyperebene dazu...

---

Aso ok danke :)

Ich hätte noch eine Frage...ich habe das LGS das ich ursprünglich gepostet habe gelöst, und komme auf Folgendes:

kann mir jemand sagen was ich da falsch gemacht habe? und wie man genau auf die Ebenengleichung kommt? 

---

Du hast fasst nix falsch gemacht x1=-4*1/2+1 = -1 muss es heissen - sonst passt alles.

Wenn Du Deine Musterlösung haben willst musst Du x3 =t und x4=s setzen - so steht es in der Musterlösung. Aber Deine Lösung mit x1=-1 wäre auch richtig -  wie im R^3 sind Parameterformen nicht eindeutig...

---

ist der Ortsvektor (1,0,0,0) auch richtig?

---

Sorry wenn ich vielleicht nerve aber hab noch ne Frage...Wenn ich jetzt so eine Lösung bei dem LGS eines Eigenraums habe, kann ich dass dann so verstehen, dass alle Vektoren, die in dieser Ebene liegen, (z. B bei einem Eigenwert von 2) auf das 2-fache von sich selbst abgebildet werden?

---

Nahein, was an der Aussage

>Du hast fasst nix falsch gemacht x1=-4*1/2+1 = -1 muss es heissen

>Deine Lösung mit x1=-1 wäre auch richtig

verstehst Du nicht?

Eigenraum, Eigenvektor, Eigenwert andere Baustelle - Du solltest das als eigene Frage (konkreter formuliert für eine konkrete Aufgabenstellung mit Eigenwert-Problematik) posten und diese Diskussion abschließen. Oder einfach hier mal nach solchen Aufgaben suchen und die nacharbeiten....

---

ok...dann auf das Thema bezogen...alle Punkte, die in der aufgestellten Ebene liegen, erfüllen die Gleichung?

---

Das wäre eine passable Überprüfung der Lösungen.

Setze die x1,x2,x3,x4 Deiner Parameterformen in die 3 Gleichungen ein. z.B.

-1 + 2s + 3t +4(-3/4t-1/2s+1/2)=1

Da fällt mir auf, Du hast x4 Deiner Lösung nicht korrekt übertragen - da fehlt 1/2 in der Parametergleichung der Lösung. Der Ortsvektor hatte also 2 Fehler, ich hatte nur einen gesehen, weil Du x4 ja richtig berechnet hattest. Da siehst Du, wie gut es ist eine Probe zu rechnen..

BTW

was verwendest Du für eine App zum Schreiben?

---

also kommen dann in den Ortsvektor einfach die Teile der Variablen ohne Parameter?

Ich verwende Notability auf dem Ipad

---

Ja, da gehören sie hin...

und Danke