Folgen, Konvergenz und Grenzwert von a_1 = 3, a_n+1 = 1/2(a_n + (3/a_n));

Question

:-)

Könnte mir bitte jemand bei der folgende Folge helfen ?

a₁ = 3, a_n+1 = 1/2(a_n + (3/a_n));

ich wäre für eine Erklärung sehr dankbar da mir das mit dem Grenzwert noch nicht so ganz klar ist. :(

Wenn ich die Werte mal einsetz sieht man zumindest mal das die Folge monoton steigend ist
ist das durch Vollständige Induktion zu beweisen ?

Vielen lieben Dank !

Lg Michi

Answer 1

x = an
y = a(n+1)

y = 1/2·(x + 3/x) = x/2 + 3/(2·x)

Bist du sicher das du die Folge richtig definiert hast. Wenn ich 3 einsetze bekomme ich für das nächste Folgeglied 2 heraus. Das ist doch aber nicht monoton wachsend.

Comments

ja sorry ! die Folge passt schon hab mich bei den Folgen die ich gerade versuch zu lösen verschaut monoton wachsend war die andre ;-)

Lg

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Ein Grenzwert bedeutet ja du setzt eine Zahl ein und es kommt fast die selbe Zahl heraus. Danach gilt

x = x/2 + 3/(2·x)
x/2 = 3/(2·x)
x^2 = 3
x = ±√3

Da die rechte Seite allerdings nur positive Werte annehmen kann, wenn wir positive anfangswerte einsetzen erwarte ich den Grenzwert bei √3.