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Aufgabe:

Welche Dimension hat der von den Vektoren aufgespannte Unterrraum des R 3 ?

\( \begin{pmatrix} 1\\2\\t+2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} -1\\t+1\\t \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0\\t\\1 \end{pmatrix} \)


Problem/Ansatz:

Wie ich das bereits in anderen Aufgaben gemacht habe, hab ich diese Vekroten erstmal in eine Matrix geschrieben

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & t+1 & t \\ t+2 & t & 1 \end{pmatrix} \)


mathe.jpg


Bin ich nun schon fertig oder muss ich auch noch denn Fall betrachten wenn der Bruch =0 ist?

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Also mein Ergebnis wäre in dem Fall Dim=3

Ich meine also die Fälle

1.  -2*t2-t+3=0 dim=2

2.   t+3=0 dim=3

3.  2*t2-t+3≠0 dim 3

3 Antworten

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Beste Antwort

Um lästige Brüche zu vermeiden, vertausche die Reihenfolge der Vektoren.
Die Matrix lautet$$\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&t&t+1\\t+2&1&t\end{pmatrix}$$Subtrahiere das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten.
Subtrahiere das (t+2)-fache der ersten Zeile von der dritten.$$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&t&t+3\\0&1&2t+2\end{pmatrix}$$Vertausche die Zeilen 2 und 3.$$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2t+2\\0&t&t+3\end{pmatrix}$$Subtrahiere das t-fache der zweiten Zeile von der dritten.$$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2t+2\\0&0&(2t+3)(1-t)\end{pmatrix}$$Nun kann der Rang in Abhängigkeit von t unmittelbar abgelesen werden.

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Steh gerade etwas auf dem Schlauch. und sehe nicht wie du das hier nun abliest.

Die ersten beiden Zeilen sind offenbar für kein t∈ℝ Nullzeilen. Die dritte wird nur für t=-3/2 oder t=1 zur Nullzeile. In diesen Fällen ist der Rang gleich 2. Sonst ist der Rang gleich 3.

Ah danke dir

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Hallo
1. das mit t+3 im Nenner umzuformen sollte man nicht, dann musst du t+3=0 einzeln betrachte. Besser gleich nicht durch Ausdrücke mit t teilen.
und ja, du musst unterscheiden, für welche t die Dimension 3 und 2 ist. das mit t=-3 dim= 3 musst du wenn es stimmt begründen.
Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Danke für deine Antwort ich hab das bisher nun so aufgeschrieben ich hoffe man kann alles erkennen. 15473775610775303168180004482926.jpg

Was muss ich da noch genau begründen?

Hallo

 ich sehe nicht, wie mit der Zeile 2: 0,0,t und der Zeile 3 0,0,? mit Fragezeichen  = 0 im Nenner die dim =3 folgt. bevor du durch t+3 teilst,- was du für t=-3 nicht darfst- musst du den Fall t=-3 behandeln . vielleicht sehe ich auch nicht was du mit deinem 3) gemacht  oder gemeint hast?

Gruß lul

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Anhand deiner Matrix kann man die Dimension des Unterraumes nicht erkennen. Zum Beispiel habe ich deine Matrix weiter umgeformt zu

\(\begin{pmatrix} -2\,t^3-7\,t^2+9&0&0\cr 0&-2\,t^3-7\,t^2+9&0\cr 0&0&-2\,t^ 2-t+3 \end{pmatrix}\)

Für \(t = -\frac{3}{2}\) ist das die Nullmatrix. Die Schlussfolgerung daraus, dass der von den Vektoren aufgespannte UVR für \(t = -\frac{3}{2}\) die Dimension 0 hat, ist aber absurd.

Achte stattdessen auf die Umformungen, die du gemacht hast.

Beispiel. In der Matrix

        \(\begin{pmatrix} 1&-1&0\cr 0&t+3&t\cr 0&2\,t+2&1\cr \end{pmatrix}\)

ersetzt du die dritte Zeile durch die Differenz aus dem (t+3)-fachen der dritten Zeile und dem (2t+2)-fachen der zweiten Zeile. Dass ist nur dann eine erlaubte Zeilenumformung, wenn t+3 ≠ 0 ist. Denn Fall

        t + 3 = 0

musst du deshalb gesondert betrachten (und nicht nur weil in deiner Ergebnismatrix t+3 als Eintrag vorkommt)

Avatar von 106 k 🚀

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