Welche Dimension hat der von den Vektoren aufgespannte Unterrraum des R 3 ?

Question

Aufgabe:

Welche Dimension hat der von den Vektoren aufgespannte Unterrraum des R 3 ?

\( \begin{pmatrix} 1\\2\\t+2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} -1\\t+1\\t \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0\\t\\1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wie ich das bereits in anderen Aufgaben gemacht habe, hab ich diese Vekroten erstmal in eine Matrix geschrieben

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & t+1 & t \\ t+2 & t & 1 \end{pmatrix} \)

Bin ich nun schon fertig oder muss ich auch noch denn Fall betrachten wenn der Bruch =0 ist?

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Also mein Ergebnis wäre in dem Fall Dim=3

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Ich meine also die Fälle

1.  -2*t²-t+3=0 dim=2

2.   t+3=0 dim=3

3.  2*t2-t+3≠0 dim 3

Answer 1

Um lästige Brüche zu vermeiden, vertausche die Reihenfolge der Vektoren.
Die Matrix lautet$$\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&t&t+1\\t+2&1&t\end{pmatrix}$$Subtrahiere das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten.
Subtrahiere das (t+2)-fache der ersten Zeile von der dritten.$$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&t&t+3\\0&1&2t+2\end{pmatrix}$$Vertausche die Zeilen 2 und 3.$$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2t+2\\0&t&t+3\end{pmatrix}$$Subtrahiere das t-fache der zweiten Zeile von der dritten.$$\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2t+2\\0&0&(2t+3)(1-t)\end{pmatrix}$$Nun kann der Rang in Abhängigkeit von t unmittelbar abgelesen werden.

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Steh gerade etwas auf dem Schlauch. und sehe nicht wie du das hier nun abliest.

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Die ersten beiden Zeilen sind offenbar für kein t∈ℝ Nullzeilen. Die dritte wird nur für t=-3/2 oder t=1 zur Nullzeile. In diesen Fällen ist der Rang gleich 2. Sonst ist der Rang gleich 3.

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Ah danke dir

Answer 2

Hallo
1. das mit t+3 im Nenner umzuformen sollte man nicht, dann musst du t+3=0 einzeln betrachte. Besser gleich nicht durch Ausdrücke mit t teilen.
und ja, du musst unterscheiden, für welche t die Dimension 3 und 2 ist. das mit t=-3 dim= 3 musst du wenn es stimmt begründen.
Gruß lul

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Danke für deine Antwort ich hab das bisher nun so aufgeschrieben ich hoffe man kann alles erkennen. 

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Was muss ich da noch genau begründen?

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Hallo

 ich sehe nicht, wie mit der Zeile 2: 0,0,t und der Zeile 3 0,0,? mit Fragezeichen  = 0 im Nenner die dim =3 folgt. bevor du durch t+3 teilst,- was du für t=-3 nicht darfst- musst du den Fall t=-3 behandeln . vielleicht sehe ich auch nicht was du mit deinem 3) gemacht  oder gemeint hast?

Gruß lul

Answer 3

Anhand deiner Matrix kann man die Dimension des Unterraumes nicht erkennen. Zum Beispiel habe ich deine Matrix weiter umgeformt zu

\(\begin{pmatrix} -2\,t^3-7\,t^2+9&0&0\cr 0&-2\,t^3-7\,t^2+9&0\cr 0&0&-2\,t^ 2-t+3 \end{pmatrix}\)

Für \(t = -\frac{3}{2}\) ist das die Nullmatrix. Die Schlussfolgerung daraus, dass der von den Vektoren aufgespannte UVR für \(t = -\frac{3}{2}\) die Dimension 0 hat, ist aber absurd.

Achte stattdessen auf die Umformungen, die du gemacht hast.

Beispiel. In der Matrix

        \(\begin{pmatrix} 1&-1&0\cr 0&t+3&t\cr 0&2\,t+2&1\cr \end{pmatrix}\)

ersetzt du die dritte Zeile durch die Differenz aus dem (t+3)-fachen der dritten Zeile und dem (2t+2)-fachen der zweiten Zeile. Dass ist nur dann eine erlaubte Zeilenumformung, wenn t+3 ≠ 0 ist. Denn Fall

        t + 3 = 0

musst du deshalb gesondert betrachten (und nicht nur weil in deiner Ergebnismatrix t+3 als Eintrag vorkommt)