Drehung Vektoren einer Basis

Question

Seien b₁ := (0  1  0)^T, b₂ := (1  0  -1)^T, b₃ := (-1  0  -1)^T die Vektoren der Basis B.

Für t ∈ ℝ \ {8} seien c₁ := 1/3 (2  t  -2)^T, c₂ := 1/3 (-1  -4  1)^T, c₃ := (-1  0  -1)^T die Vektoren der Basis C und E die Standardbasis von ℝ³.

a) Sei γ: ℝ³ → ℝ³ linear mit γ(b_j) = c_j für j ∈ {1,2,3}. Bestimmen Sie _Eγ_E.

b) Gibt es t ∈ ℝ \ {8} so, dass γ aus a) eine Drehung ist? Bestimmen Sie für diese Fälle die Drehachse und den Cosinus des Drehwinkels von γ.

Comments

Du schreibst:

... Bestimmen Sie \({_E\gamma_E}\).

\({_E\gamma_E}\) wäre die Identität, bzw. die Einheitsmatrix. Nach dem Vorspann müsste es aber \({_B\gamma_C}\) heißen - oder? Wie sind die Indizes genau?

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Hallo Werner ,

also die Indizes stehen im Allgemeinen bei _Eφ_E z.B. dafür, dass dies die Abbildungsmatrix φ mit den Vektoren E bezüglich E ist.

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...das wäre ja genau die Identität. Wenn ich einen Vektor aus \(E\) auf sich selbst abbilde, dann verändert sich ja nichts. Und wenn man den Vektor um eine Drehachse rotiert, hat man ein neues Koordinatensystem, was nicht mehr \(E\) ist!

Answer 1

... heißt wahrscheinlich doch \({_E\gamma_E}\). Wäre nett, wenn Du in Deinem Skript eine Definition dazu finden würdest, was diese Indizes bedeuten. Das verwirrt mich ...

Ich vermute, dass mit \(\gamma(b_j) = c_j\) eine lineare Abbildung \(A \cdot b_j = c_j\) gemeint ist. Wobei \(A\) die Abbildungsmatrix ist. Dann gilt $$A \cdot \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}$$und daher$$\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}^{-1}\\ &= \frac 13 \begin{pmatrix} 1&2&2 \\ -2& t&2 \\ 2&-2&1\end{pmatrix} \end{aligned}$$\(A\) ist nur für den Wert \(t=-1\) eine Rotation, da nur für \(t=-1\) die drei Spaltenvektoren orthogonal zueinander stehen.

Wenn \(A\) eine Rotationsmatrix ist, gibt es nur einen Eigenvektor. Und der ist gleich der Drehachse \(d\). Hier ist das $$d=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Eine Möglichkeit den Drehwinkel, bzw. seinen Cosinus, zu berechnen ist:$$(d \times b_1)\cdot (d \times c_1) = |d \times b_1| \cdot |d \times c_1| \cdot \cos \alpha$$Die Vektoren \(d \times b_1\) und \(d \times c_1\) sind zwei Vektoren, die durch die Drehung ineinander überführt werden und sich in der Drehebene befinden, weil sie senkrecht zu \(d\) stehen. Folglich ist der Winkel zwischen ihnen gleich dem Drehwinkel. Ich habe \(\cos \alpha = 1/3\).

Falls Du Fragen hast, so stelle sie möglichst gleich; ist schon spät!

Gruß Werner

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Absatz über \(\cos \alpha\) hinzugefügt.