Wenn \(A\) eine Spiegelmatrix ist, so ist einer ihrer drei Eigenvektoren der Normalenvektor der Ebene. Der zugehörige Eigenwert muss negativ sein und die beiden anderen anderen Eigenwerte sollten gleich sein.
Die Eigenwerte von \(A\) sind \(\lambda_1= -3\) und \(\lambda_{2,3}=3\). Also benötigen wir den Eigenvektor von \(\lambda_1\). Dieser ist$$n_1=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1\end{pmatrix}$$
Prüfe das bitte nach. Es muss sein \(A \cdot n_1 = -n_1\). Die Hessesche Normalform für die Ebene lautet dann$$\begin{aligned} \frac{1}{|n_1|}n_1 \cdot x &= 0 \\ \frac 1{\sqrt 6} \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 1\end{pmatrix} \cdot x &= 0 \end{aligned}$$
zu (b): ist \(\alpha\) eine Spiegelung, so ist \(\alpha \circ \alpha\) eine Abbildung auf sich selbst bzw. die Identität. laut Definition ist (Seite 9):
Anstelle von “orientierungserhaltend” und “orientierungsumkehrend” sagt man auch “eigentlich” und “uneigentlich” ...
Somit ist die zweifache Spiegelung immer eine eigentliche Isometrie.
zu (c): \(Av+r_j\) ist genau dann auch eine Ebenenspiegelung, wenn \(r_j\) linear zu \(n_1\) liegt. Das ist bei \(r_2\) der Fall, da \(r_2 = -2n_1\).
Falls Du noch Fragen dazu hast, so melde Dich bitte. Übrigens ist es für die Beantwortung dieser Fragen sehr hilfreich, wenn Du eine räumliche Vorstellung von diesen Abbildungen hast. Hast Du die?
Gruß Werner
