Allg. Assoziativität: Beweise x_1 + x_2 + ... + x_n = (...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n

Question

Beweise x_1 + x_2 + ... + x_n = (...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n

Induktionsanfang:

Anwendung des Assoziativgesetzes: (x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3).
Man kann also die Klammern weglassen.

Induktionsschritt:

Ich nehme an x_1 + x_2 + ... + x_n = (...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n sei wahr.
Ich muss zeigen, dass x_1 + x_2 + ... + x_n + x_(n+1) = ((...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n) + x_(n+1).
Nach Induktionsvoraussetzung erhalte ich x_1 + x_2 + ... + x_n + x_(n+1) = (x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n) + x_(n+1).
Bin ich an dieser Stelle schon fertig?

Answer 1

Beweise x_1 + x_2 + ... + x_n = (...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n

Induktionsanfang:

Anwendung des Assoziativgesetzes: (x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3). 
Man kann also die Klammern weglassen.


Induktionsschritt:

Ich nehme an x_1 + x_2 + ... + x_n = (...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n sei wahr. 
Ich muss zeigen, dass x_1 + x_2 + ... + x_n + x_(n+1) = ((...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n) + x_(n+1). 
Nach Induktionsvoraussetzung erhalte ich x_1 + x_2 + ... + x_n + x_(n+1) = (x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n) + x_(n+1). 
Bin ich an dieser Stelle schon fertig?

Wenn  (...((x_1 + x_2) + x_3) + ...) + x_n die Behauptung ist eigentlich schon.

Weil n.V.  (x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n) + x_(n+1) =  (...(x_1 + x_2) + x_3) + ... )+ x_n) + x_(n+1). 

Ich würde aber eher zeigen, dass 

 x_1 + x_2 + ... + x_n = ( x_1 +( x_2 + ... (x_n-1 + x_n)…) 

da man ja in der Regel von links nach rechts rechnet, wenn keine Klammern vorhanden sind.

 (...(x_1 + x_2) + x_3) + ... )+ x_n) + x_(n+1) | Nach Induktionsanfang:

= (...(x_1 + x_2) + x_3) + ... )+ ((x_n + x_(n+1))

und nun ((x_n + x_(n+1) als Summand Nr. n benutzen und Ind.vor. anwenden.

Comments

Also nochmal. Ich bin nicht wirklich zufrieden mit meiner Lösung, denn ich habe:

x_1 + x_2 + ... + x_n + x_(n+1) = (x_1 + x_2 + ... + x_n) + x_(n+1). Ich kann ja jetzt nicht sagen "ich rechner von links nach rechts, deshalb ist die Gleichung wahr", weil Objekte ohne Klammern kenne ich theoretisch gar nicht. Ich beweise sie gerade. Das einzige was ich weiß, ist, dass (x_1 + x_2 + ... + x_n) allen möglichen Klammerungen enspricht (Induktioinsvoraussetzung) und natürlich mein Induktionsanfang. Wie mache ich nun weiter?