es geht darum, zu zeigen, dass man die Klammern bei der Addition weglassen kann. Wenn ich das richtig sehe, muss ich zeigen, dass \( x_1 + x_2 + ... + x_n \) gleich allen möglichen Anordnungen der Klammern ist.
Ich nutze dafür die vollständige Induktion.
IA: n=3: \( (x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3) \). Hier habe ich das Axiom der Addition benutzt. Es sind alle möglichen Anordnungen also für \( n= 3\) kann ich die Klammern weglassen.
IS: n -> n+1: Die schreibweise \(x_1 + x_2 + ... + x_n\) entspricht allen Möglichen Anordnungen. Ich muss zeigen, dass \(x_1 + x_2 + ... +x_n + x_{n+1} \) gleich allen Möglichen Anordnungen ist.
\(x_1 + x_2 + ... +x_n + x_{n+1} \) entspricht allen möglichen Anordnungen, wenn \( z + x_{n+1} = x_1 + y \), wobei \(z\) alle möglichen Anordnungen sind für Summanden \( x_1 +...+ x_n \) und \( y \) alle möglichen Anordnungen sind für Summanden \( x_2 + ... + x_{n+1} \), denn dann hat man alle Fälle der Klammern abgedeckt. Nach IV haben wir also \( (x_1 + ... + x_n) + x_{n+1} \). Wir schreiben \( a := x_2 +... + x_n \) also \( (x_1 + a) + x_{n+1} \) und nach dem Axiom der Addition kriegen wir \( x_1 + (x_2 +... + x_{n+1}) \) raus. Und nach IV sind x_2 + ... + x_{n+1} alle möglichen Anordnungen.
Ist mein Beweis OK?
