Ebenenspiegelung prüfen

Question

Aufgabe:

$$A = \frac { 1 } { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { 2 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 2 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { 2 } \end{array} \right)$$

Seien$$ r _ { 1 } : = ( - 2 \quad 1 - 2 ) ^ { \mathrm { T } }$$ und $$r _ { 2 } : = ( - 2 \quad 4 - 2 ) ^ { \mathrm { T } }$$ .

Für welches je {1,2} ist die Abbildung $$\beta _ { j } : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } : v \mapsto A v + r _ { j }$$ eine Ebenenspiegelung? Geben Sie in diesem Fall die Spiegelebene in Hesse-Normalform an

Problem/Ansatz:

Wie genau muss ich vorgehen um die abbildug auf eine Ebenenspielung zu prüfen?

Comments

Keine Info über das A ?

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$$A = \frac { 1 } { 3 } \left( \begin{array} { c c c } { 2 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 2 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { 2 } \end{array} \right)$$

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Die Aufgabe hatten wir erst vor kurzem, guckst Du...

Answer 1

Wenn es eine Ebenenspiegelung ist, müssen ja jedenfalls alle

Punkte dieser Ebene Fixpunkts sein, also für diese Punkte mit

Ortsvektor v gelten

ß(v)=v

Av + r = v

Av - v = -r

(A-E)*v = -r

Und für r1 hat das keine Lösung, aber für r2:

Sind alle (x,y,z) Lösungen, wenn

E :   x-2y+z=6 gilt

Das ist dann die Gleichung der Ebene.

In der Hesse-Form also

(x-2y+z)/√6=√6.

Diese Ebene bleibt fest.

Musst noch zeigen, dass für jeden anderen Punkt P

gilt  ( P + ß(P) / 2   ∈   E.