Vektor & Skalarprodukt mit Winkel 90

Question

Aufgabe:

Geben Sie alle Punkte P in der x-y-Ebene an, von denen aus die beiden Punkte A(0,0,0) und B(1,0,0) unter einem Winkel von 90 Grad gesehen werden. Geometrische Lösung reicht nicht, Rechnung mit Skalarprodukt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe, dass die Lösung sämtliche Punkte auf der xy-Ebene auf dem Kreis mit Mittelpunkt (0.5, 0.5 ,0) und Radius 0.5 sind, jedoch ist mir (geometrisch gesehen) nicht klar, weshalb auch die Punkte A und B selber zur Lösung zählen? Wie können zwei Punkte A,B von einem Punkt C aus gesehen, einen Winkel von 90° ergeben, wenn einer dieser Punkte A/B gleichzeitig C ist?

Auch kriege ich irgendwie kein gescheites Skalarprodukt hin, welches die Lösung mit dem Kreis beweist.

Answer 1

Wenn X so ein Punkt ist, dann gilt XA * XB = 0

                                   ( a - Vektorx ) * ( b -Vektorx ) = 0

Und für Vektor x = ( x,y,z) also

              ( -x ; -y ; -z) * ( 1-x ; -y - z ) = 0

             x^2 -x + y^2 + z^2    = 0

               und in der xy- Ebene bedeutet   z=0 also

                                         x^2 -x + y^2 = 0

                                              x^2 -x + 1/4 +  y^2 =  1/4

                                                 ( x-1/2) ^2 + y^2  = 1 / 4

Also Kreis um ( 1/2 ; 0 ) mit Radius 1/2