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Ich sitze an einer Aufgabe und bin Steckengeblieben.
DIe Aufgabe lautet:

Sei K die zwei-elementige Menge {0, 1}. Wir definieren auf K eine Addition und Multiplikation durch die folgenden zwei Verknüpfungstafeln:

+ 0 1     · 0 1
0 0 1      0 0 0
1 1 0     1 0 1

(K, +, ·) bildet ein Körper. Prüfen Sie drei der fünf de1113089nierenden Eigenschaften K1 bis K5 eines Körpers nach. (4 Punkte)

Meine Ideen:
Ich habe mir folgendes dazu überlegt:

1) (Kommutativgesetz) a+b = b+a und a·b = b·a
0+1 = 1+0 ; 0·1 = 1·0

(2) (Assoziativgesetz) (a+b)+c = a+(b+c) und (a·b)·c = a·(b·c)

Bei (1) komme ich noch gut klar, weil es eine zwei-elementige Menge ist. aber bei (2) fehlt mir c, soll c=0 sein oder wie kann man das anders hinschreiben.
Man muss hier doch mit der Menge (0,1) rechen oder nicht?

Würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen würdet
Danke
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1 Antwort

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Auch bei 1 musst du theoretisch allem Möglichkeiten prüfen.

0 + 0 = 0 + 0
0 + 1 = 1 + 0
1 + 0 = 0 + 1
1 + 1 = 1 + 1

Hieraus folgt das Kommutativgesetz. Bein Assoziativgesetz musst du auch für alle a, b, c Element {0, 1} prüfen

(0 + 0) + 0 = 0 + (0 + 0)
(0 + 0) + 1 = 0 + (0 + 1)
(0 + 1) + 0 = 0 + (1 + 0)
(0 + 1) + 1 = 0 + (1 + 1)
(1 + 0) + 0 = 1 + (0 + 0)
(1 + 0) + 1 = 1 + (0 + 1)
(1 + 1) + 0 = 1 + (1 + 0)
(1 + 1) + 1 = 1 + (1 + 1)

Das gleiche jetzt noch mit der Multiplikation. Ich denke man sieht, dass das Assoziativgesetz erfüllt ist.

Avatar von 487 k 🚀
Warum wird jedoch in der ersten Verknüpfungstafel überhaupt vorausgesetzt, dass 1+1=0 ist?
Das ist quasi wie eine Binäre Addition bei der der übertrag halt nicht beachtet wird. Prinzipiell kannst du dort ja festlegen was auch immer du willst.
Wow Dankeschön hab es endlich verstanden :D
danke das du dir die zeit genommen hast

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