Verknüpfungstafel, Regel

Question

Ich sitze an einer Aufgabe und bin Steckengeblieben.
DIe Aufgabe lautet:

Sei K die zwei-elementige Menge {0, 1}. Wir definieren auf K eine Addition und Multiplikation durch die folgenden zwei Verknüpfungstafeln:

+ 0 1     · 0 1
0 0 1      0 0 0
1 1 0     1 0 1

(K, +, ·) bildet ein Körper. Prüfen Sie drei der fünf de1113089nierenden Eigenschaften K1 bis K5 eines Körpers nach. (4 Punkte)

Meine Ideen:
Ich habe mir folgendes dazu überlegt:

1) (Kommutativgesetz) a+b = b+a und a·b = b·a
0+1 = 1+0 ; 0·1 = 1·0

(2) (Assoziativgesetz) (a+b)+c = a+(b+c) und (a·b)·c = a·(b·c)

Bei (1) komme ich noch gut klar, weil es eine zwei-elementige Menge ist. aber bei (2) fehlt mir c, soll c=0 sein oder wie kann man das anders hinschreiben.
Man muss hier doch mit der Menge (0,1) rechen oder nicht?

Würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen würdet
Danke

Answer 1

Auch bei 1 musst du theoretisch allem Möglichkeiten prüfen.

0 + 0 = 0 + 0
0 + 1 = 1 + 0
1 + 0 = 0 + 1
1 + 1 = 1 + 1

Hieraus folgt das Kommutativgesetz. Bein Assoziativgesetz musst du auch für alle a, b, c Element {0, 1} prüfen

(0 + 0) + 0 = 0 + (0 + 0)
(0 + 0) + 1 = 0 + (0 + 1)
(0 + 1) + 0 = 0 + (1 + 0)
(0 + 1) + 1 = 0 + (1 + 1)
(1 + 0) + 0 = 1 + (0 + 0)
(1 + 0) + 1 = 1 + (0 + 1)
(1 + 1) + 0 = 1 + (1 + 0)
(1 + 1) + 1 = 1 + (1 + 1)

Das gleiche jetzt noch mit der Multiplikation. Ich denke man sieht, dass das Assoziativgesetz erfüllt ist.

Comments

Warum wird jedoch in der ersten Verknüpfungstafel überhaupt vorausgesetzt, dass 1+1=0 ist?

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Das ist quasi wie eine Binäre Addition bei der der übertrag halt nicht beachtet wird. Prinzipiell kannst du dort ja festlegen was auch immer du willst.

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Wow Dankeschön hab es endlich verstanden :D
danke das du dir die zeit genommen hast