Differenzierbare Funktionen

Question

Aufgabe:

Es seien a,b ∈R mit a < b und f sei eine n-mal auf [a,b] differenzierbare Funktion. Weiterhin gebe es eine Zerlegung a = x0 < ··· < xn = b von [a,b] durch n+1 Stellen x0,...,xn mit xj < xj+1, j = 0,...,n−1, und alle diese Stellen seien Nullstellen von f, d.h. f(xl) = 0 für alle l = 0,...,n.

 Zeigen Sie, dass es unter diesen Voraussetzungen ein ξ ∈ (a,b) gibt, so dass f(n)(ξ) = 0.

 Hinweis: Für n = 1 ist dies der bekannte Satz von Rolle.
Problem/Ansatz:

Answer 1

Nach dem Satz von Rolle hat f' im Intervall [a,b] mindestens n Nullstellen.

Wendet man den Satz von Rolle auf die Ableitung an, dann hat f'' im Intervall [a,b] mindestens n-1 Nullstellen.

Wendet man den Satz von Rolle auf die 2-te Ableitung an, dann hat f''' im Intervall [a,b] mindestens n-2 Nullstellen.

...

Wendet man den Satz von Rolle auf die (n-1)-te Ableitung an, dann hat f⁽ⁿ⁾ im Intervall [a,b] mindestens n-(n-1)=1 Nullstelle.