Ist φ injektiv? Surjektiv? Ein Vektorraumhomomorphismus?

Question

Seien K ein Körper und V,W K-Vektorräume.

Seien M₁ := ℤ × ℤ und M₂ := ℝ × ℝ. Weiter sei φ : M₁ → M₂ eine Abbildung, für alle (a, b) ∈ M₁ sei (a, b) ^φ := (−b, 0). Ist φ injektiv? Surjektiv? Ein Vektorraumhomomorphismus?

Answer 1

Ist φ injektiv?    nein,   z.B.    φ(2,7) =      φ( 3,7)

Surjektiv? nein    z.B.    ( 3,3) kommt nicht als Bild vor.

 Ein Vektorraumhomomorphismus?   ja

zeige:  φ ( x*(a,b) + y*(c,d) ) = x*φ(a,b) + y*φ(c,d) .

Comments

Guten Morgen mathef,

kannst du mir das mit der Injektivität und der Surjektivität mal genauer zeigen - verstehe nicht genau wie du darauf kommst. Oder wo man sich darüber vll nochmal belesen kann? Trotzdem erst mal vielen Dank! ;)

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Ich versuche es mal mit einfachen Worten:

f : A → B   Injektiv kann man auf zwei Weisen formulieren:

entweder:  Wenn f(t) = f(s) dann muss s=t gelten

oder      wenn s ≠ t  dann muss f(s) ≠ f(t) gelten

kurz: Es werden nie zwei verschiedene Werte

auf das gleiche Bild abgebildet.

Bei meinem Beispiel oben waren die beiden verschiedenen

             (2;7) und ( 3;7) .

f : A → B   surjektiv  heißt einfach nur:

Jedes Element von B kommt auch als Bild vor.

In deinem Beispiel haben alle Bilder die 2. Komponente 0,

also kommen die mit einer von 0 verschiedenen 2. Komponente

nicht als Bilder vor. Z.B.   ( 3,3) kommt nicht als Bild vor.