Könnten Sie mir sagen, ob meine Denkweise richtig ist? Hier ist die Aufgabe:
Sei R ein Integritätsring und sei Φ: R[X] → R[X] ein Ringhomomorphismus mit Φ(a) = a für alle a ∈ R. Zeigen Sie:
(1) Φ ist genau dann injektiv, wenn deg(Φ(X)) ≥ 1 gilt,
(2) Φ ist genau dann surjektiv, wenn X ∈ Im(Φ) gilt.
Ich wollte (1) Hinrichtung durch den Widerspruch zeigen: nehmen wir an, deg(Φ(X)) < 1 gelte, also deg(Φ(X))=0. Dann wäre X auf ein konstantes Polynom abgebildet. Wir wissen aber, dass konstante Polynome auf sich selbst abgebildet werden, also wenn Φ(X)=a und Φ(a)=a, dann heißt es, dass Φ(X)=Φ(a) => X=a => X konstantes Polynom => Widerspruch.
Für andere Richtung könnte man zwei Polynome annehmen, deren Bilder gleich sind, also Φ(x)=Φ(p). Daraus folgt Φ(x)-Φ(p)=0 => x-p=0 => x=p.
Ich weißt aber nicht ob ich die Argumentation richtig aufgeschrieben habe.
Für (2) denke ich, dass man die linearität der Abbildung benutzt darf und dass man dadurch zu jedem Polynom ein Urbild finden könnte, das aus Ф(a) und Ф(x) besteht. Ich weiß aber wieder nicht, wie es richtig aussehen soll.
