Lösung trigonometrischer Gleichungen: cos^2(x) = 3/4

Question

Aufgabe:

ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

cos²x= 3/4

| cos x| = \( \sqrt{3} \)/4

Ich weiß, dass ich für cos x > 0, die Nullstellen pi/ 6 oder auch 5/6 pi

und für cos <0  7/6 pi und 11/ 6 pi erhalte.

Mein Problem ist das ich nicht weiß, wann ich zb bei der ersten(oder 2.) Nullstelle dies genau darstellen kann also von dieser Form (für cos x >0)  x= {pi / 6 + k pi oder 2 k pi}   v  {5/6 pi + k pi oder 2 kpi}.

                            (für cos<0)   x={7/6 pi + k pi oder 2k pi} v x={11/6 pi + k pi oder 2 kpi}

Eine andere Frage ist, dass ich nicht verstehe wie ich dann diese als Lösung vereinige, oder wie man darauf kommt.

Die Lösung der Gleichung wäre x= pi / 6 +kpi v x=5/6pi + kpi

Vielen Dank im für Antworten

Answer 1

| cos x| = √(3/4) = 0,5*√3

Das einfachste ist immer, wenn man sich erst mal auf einem

Intervall der Länge 2pi die Lösungen überlegt, z.B. das Intervall von

0 bis 2pi.  Da hilft auch der Graph:

~plot~ cos(x);0.5*sqrt(3);-0.5*sqrt(3); [[-1 | 7| -2 | 2]] ~plot~


Und | cos x|  = 0,5*√3 heißt ja

  cos x  = 0,5*√3  oder   cos x  = - 0,5*√3

Du siehst 4 Schnittpunkte mit der roten bzw. der

grünen Geraden. Deren x-Werte sind die Lösungen.

Formelsammlung zeigt, dass es dafür sogar exakte Lösungen

gibt x= pi/6  ∨  x = 5pi/6  ∨  x= 7pi/6   ∨ x= 11pi/6

Und jede dieser Lösungen wiederholt sich, wenn man um 2pi weitergeht.

Da sich aber die 1. und die 3. sowie

die 2. und die 4. genau um pi unterscheiden, braucht man nur

die ersten beiden jeweils um pi weiter zu schieben, und hat damit alle

Lösungen wie vorgegeben:   x= pi / 6 +kpi v x=5pi/6 + kpi

Answer 2

Vielleicht hilft dir diese Skizze: