Beschreibung der affinen Abbildung α bezüglich des Koordinatensystems G?

Question

Gegeben ist die folgende affine Abbildung

α: ℝ² → ℝ²: v → \( \begin{pmatrix} -10 & -4√5 \\ -4√5 & -8  \end{pmatrix} \) v + \( \begin{pmatrix} 18 \\ -9√5 \end{pmatrix} \) ,

sowie das folgende affine Koordinatensystem von ℝ².

G = (\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \); 1/3\( \begin{pmatrix} √5\\2 \end{pmatrix} \), 1/3\( \begin{pmatrix} 2\\-√5 \end{pmatrix} \))

Bestimmen Sie die Beschreibung der affinen Abbildung α bezüglich des Koordinatensystems G.

_Gα_G(v) = \( \begin{pmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{pmatrix} \) v + \( \begin{pmatrix} ?\\?\\ \end{pmatrix} \)

Ich weiß leider nicht, wie ich vorgehen muss bzw. wie ich die jeweiligen Komponenten bestimme, um GαG zu bestimmen. Wäre nett, wenn jemand einen ausführlichen Rechenweg geben könnte.

Answer 1

Da findest Du die gleiche Aufgabe

https://www.mathelounge.de/602679/beschreibung-der-affinen-abbildung

und es kommt auch was ganz ähnliches raus:
In der Matrix steht -18 und im Vektor 27

und ein weiteres Beispiel
https://www.mathelounge.de/602676/koordinatentransformation

Dank Werner ausführlich vorgerechnet...

Comments

vielen Dank. Jedoch versteh ich nicht ganz, wie Werner darauf kommt, dass GαG gleich Tranformation von EKG mal EαE mal EKG und wie man diese Komponenten herausbekommt aus den gegeben affinen Abbildungen.

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Werner gibt dir bestimmt eine Antwort, wenn du einen Kommentar unter die Antwort schreibst.

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Die Basisvektoren G in einer Matrix zusammengefast beschreiben eine Basistransformation von G nach E: geschrieben _EK_G . Die Umkehrung (also von E nach G) _GK_E = _EK_G^-1 . Die Abb α. oder genauer, _Eα_E funktioniert auf der Einheitsbasis E. Um die Abbildung in G  Koordinaten zu haben müssen G Vektoren nach E konvertiert, die Bilder in _Eα_E berechnet und wieder in G dargestellt werden, Also schreibt sich die Abb α in der Basis G

_Gα_G = _GK_{E E}α_{E E}K_G 

Jetzt sieht Du auch, warum ich (Werner) diese Schreibweise wählen: Es kontrolliert sich wunderbar wie welche Basen zusammen kommen...

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Hallo nochmal,

langsam leuchtet mir das ein. Vielen Dank.

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Jedoch versteh ich nicht ganz, wie Werner darauf kommt, dass GαG gleich Transformation von EKG mal EαE mal EKG und wie man diese Komponenten herausbekommt aus den gegeben affinen Abbildungen.

Beides habe ich versucht, in meinen Antwort auf Deine Fragen 'Koordinatentransformation 2' und 'Koordinatentransformation 1' zu erklären. Frage möglichst konkret nach, wenn Du etwas nicht verstanden hast. Das ist natürlich 'n Haufen Zeug. Das lernt man nicht 0 auf 100 durch zwei Antworten meinerseits.

Ich habe auch keine Ahnung, ob Ihr nun mit homogen Koordinaten arbeitet oder nicht. Es ginge auch anders, aber nicht so elegant.

Frage möglichst immer nach ...

Gruß Werner