Beschreibung der affinen Abbildung α bezüglich des Koordinatensystems G

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die folgende affine Abbildung

$$\alpha : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } : v \mapsto \left( \begin{array} { c c } { - 6 } & { 4 \sqrt { 3 } } \\ { 4 \sqrt { 3 } } & { - 8 } \end{array} \right) v + \left( \begin{array} { c } { 8 \sqrt { 7 } } \\ { 4 \sqrt { 21 } } \end{array} \right)$$

sowie das folgende affine Koordinatensystem von $$ \mathbb{R}^2$$.

$$G = \left( \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) ; \frac { 1 } { \sqrt { 7 } } \left( \begin{array} { c } { - \sqrt { 3 } } \\ { 2 } \end{array} \right) , \frac { 1 } { \sqrt { 7 } } \left( \begin{array} { c } { 2 } \\ { \sqrt { 3 } } \end{array} \right) \right)$$

Bestimmen Sie die Beschreibung der affinen Abbildung $$ \alpha$$ bezüglich des Koordinatensystems $$ \mathbb{G}$$

Answer 1

Hallo Leki,

das Ergebnis ist $${_G\alpha_G}:\space  \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2: \space v \to \begin{pmatrix} -14 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} v + \begin{pmatrix} 0 \\ 28 \end{pmatrix} $$

Schreibe die Abbildung \(\alpha\) und die Transformation \({_EK_G}\) als homogene Koordinaten. Und dann ist $$_G\alpha_G = \left( {_EK_G}\right)^{-1} \cdot {_E\alpha_E} \cdot {_EK_G}$$Um die Abbildung \(\alpha\) auszuführen, wird eine Position \(v\) aus \(G\) zunächst nach \(E\) transformiert: $${_Ev} = {_EK_G} \cdot {_Gv}$$auf das Ergebnis kann danach die Abbildung \(\alpha\) ausgeführt werden$${_Ev}' = {_E\alpha_E} \cdot {_Ev} = {_E\alpha_E} \cdot {_EK_G} \cdot {_Gv}$$und dieses wird wieder nach \(G\) transformiert. Es ist \({_GK_E} = \left( {_EK_G}\right)^{-1}\) - also:$$\begin{aligned} {_Gv}' &= \left( {_EK_G}\right)^{-1} \cdot {_Ev}' \\ {_Gv}' &= \left( \underbrace{\left( {_EK_G}\right)^{-1} \cdot {_E\alpha_E} \cdot {_EK_G}}_{_G\alpha_G} \right) \cdot {_Gv} \end{aligned}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner