Ich befasse mich in meiner Freizeit oft mit Mathematik und mich interessieren vorallem die Grundlagen der Mathematik. Jetzt beschäftigt mich die Frage, welche Klassen mathematischer Probleme gibt es überhaupt?
Ich würde Mathematische Probleme folgendermassen klassifizieren.
1. Diese Klasse beinhaltet die wahrscheinlich am meisten gestellten Probleme, nähmlich die Vermutungen. Bei den Vermutungen kann man die Frage stellen, ob eine gegebene Aussage wahr oder falsch ist. Für fortgeschrittene würde das heissen, dass man entscheiden will, ob die gegebene Zeichenkette Element einer Menge, nähmlich der Menge der wahren Aussagen eines gegebenen Axiomensystems ist. Das wäre das Entscheidungsproblem.
2. Man fragt nach einem Algorithmus. Z.b. man gebe ein Algorithmus an, der bei gegebener Zahl ihr Quadrat ausrechnet. Natürlich ist das hier eine sehr einfache aufgabe aber es gibt auch ungelöste Probleme, die nach Algorithmen suchen.
3. Die Existenz von Algorithmen. Gibt es ein Algorithmus, dass dieses oder jenes berechnen kann? Anders gesagt, fragt man nach der Berechenbarkeit einer Menge. Hier könnte man noch eine weitere Klasse formulieren, die fragt, ob eine Menge entscheidbar ist.
4. Ist eine Funktion wohldefiniert.
Ich finde keine Probleme, die in keiner dieser Klassen gehören.
Z.b. kann die Frage nach der Existenz eines Objektes mit einer bestimmten Eigenschaft in die Klasse 1 eingestuft werden, denn man fragt, ob die Aussage, dass es ein Objekt existiert, dass die bestimmte Eigenschaft hat, richtig ist.
Z.b. kann die Frage nach einem Objekt, welcher eine bestimmte Eigenschaft erfüllt, umformuliert werden in 1. Gibt es überhaupt dieses Objekt bzw. Ist das Prädikat, also die Eigenschaft wohldefiniert? Das kann in Klasse 4 eingeteilt werden. 2. Kann man das Objekt berechnen? Also kann man es auch bestimmen? Das kommt in Klasse 3. 3. Welcher Algorithmus berechnet dieses Objekt? Diese Frage kommt in Klasse 2.
Ich würde gerne wissen, ob es weitere Klassen gibt, ob sich die genannten Klassen auf wenigere reduzieren lassen und wenn es nur diese Klassen von Problemen gibt, würde ich gerne eine Begründung haben, wieso es nur diese gibt.
Ich bedanke mich schon im Voraus für die Antworten.
