Extremwertaufgabe: Rechteckigen Raum in Dachraum einschreiben, sodass er maximal wird?

Question

Aufgabe:

Dachraum Dreieck mit Masse in meter:

Höhe = 5

Breite = 8

Länge = 10

Nun soll dort ein Raum geplant(eingepasst) werden(rechteckig) und dazu soll die Breite und die Höhe so bestimmt werden, dass das Volumen maximal wird.

Skizze:

Problem/Ansatz:

Formel V: 10 • Breite B • Höhe H

Wenn ich jetzt die Höhe durch die Breite ausdrücke, z.b durch

H = b/ tan90Grad

Dann habe ich eine Gleichung

V = 10b • b/ tan 90 Grad

Und jetzt müsste ich diese ja Ableiten, um das maximale Volumen bestimmen zu können.

Wie kann man diese Gleichung ableiten? Und komme ich so überhaupt zu einem gewünschten Ergebnis?

Comments

Du müsstest besser beschreiben, um was wirklich geht oder eine Skizze nachreichen.

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Darf ich das von Hand zeichnen?

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Natürlich. [Fülltext]

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Gut:).. (Fülltext).....

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Jo, ich hoffe, dass du mit den Antworten etwas anfangen kannst. Beide liefern identische Endergebnisse, gehen nur von anderen Ansätzen aus!

Answer 1

Extremwertbedingung:

wir können uns die Frontfläche angucken - denn wenn diese maximiert ist, so ist es auch das Volumen.

(1) Skizze:

(2) Hauptbedingung (Fläche, die maximiert werden soll)

Das ist in deinem Fall die Fläche eines Rechtecks, dessen Flächeninhalt sich aus \(A(x,y)=x\cdot y\) ergibt.

(3) Nebenbedingung

Eine Seitenlänge des Rechtecks lässt sich dem zweiten Strahlensatz ableiten \(\frac{x}{c}=\frac{h-y}{h}\) - daraus folgt  \(x=\frac{c(h-y)}{h}\)

(4) Zielfunktion

\(A(y)=\frac{c(h-y)}{h}\cdot y\)    wobei \(h=5\), \(c=8\)

\(A(y)=-\frac{8}{5}x^2+8x\)

Ableiten:$$A'(y)=-3.2x+8$$$$A'(y)=0 \quad \Longrightarrow y_1=2.5$$$$A''(2.5)=-3.2<0 \quad \Longrightarrow \text{Hochpunkt}$$In Ausgangsfunktion einsetzen:$$A(2.5)=10$$ Der maximale Wert für die Grundfläche \(G\) ist also \(10\), wenn du das mit der Höhe multiplizierst, so erhältst du das Volumen, das \(V_{\text{max}}=100m^3\) beträgt.

Comments

Toll, vielen Dank, ich bin sehr froh über all die Antwort und über Eure Hilfe!

Es ist wirklich sehr nützlich.

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Gern geschehen!

Answer 2

\([\tan x]'=\sec^2 x\)

Den Tangens brauchst du hier aber gar nicht.

Deine Zielfunktion für ein Quader müsste ja lauten Länge (l) deines Dachs * Breite (x) des Quaders * Höhe (h_Q) deines Quaders, sprich \(V=l\cdot x \cdot h_Q\)

h:= Zimmerhöhe 
b:= Breite des Zimmers
h_Q:= Höhe des Quaders
l:= Länge des Quaders = Länge des Daches
x:= Breite des Quaders

Die Länge kannst du übernehmen l=10

Außerdem, da dein Dach'raum' ein Dreieck/Prisma ist, kannst du eine Nebenbedingung aufstellen

\(\dfrac{h-h_Q}{h}=\dfrac{x}{b} \)

Wenn wir nach h_Q umstellen, erhalten wir \(h_Q=h-\dfrac{h}{b}x\).

Das eingesetzt ergibt \(V=l\cdot x \cdot \left( h-\dfrac{h}{b}x \right)=h\cdot b\cdot x-\dfrac{b\cdot h}{b}\cdot x^2\).

Somit kannst du nun schon deine gegeben Werte einsetzen: \(V=50x-\dfrac{25}{4}x^2\).

Jetzt wie gewohnt das Maximum berechnen.