Potenzfunktion f(x) = x^n, n∈N, n>0, ist für gerade n streng mononton wachsend auf ganz R?

Question

ich hätte ne Frage zum Thema Potenzfunktionen

Frage:

Die Potenzfunktion f(x)=xⁿ, n∈N,  n>0,  ist für gerade n

- streng monoton wachsend auf ganz IR

- eine ungerade Funktion

- eine gerade Funktion

-beschränkt (nach oben und unten)

-streng monoton fallend auf ganz IR

-eingeschränkt auf x≤0 bzw. x≥0 invertierbar

-invertierbar

was meint ihr?

Mein Problem hierbei ist, dass ich keine Zahl habe und deshalb irritiert bin.

Es könnte eine gerade und ungerade Funktion sein. was noch?

Vielen dank im voraus :)

Answer 1

Mein Problem hierbei ist, dass ich keine Zahl habe

Dann musst du die Potenzfunktionen

• f₀(x) = x⁰
• f₂(x) = x²
• f₄(x) = x⁴
• f₆(x) = x⁶
• f₈(x) = x⁸
• f₁₀(x) = x¹⁰
• f₁₂(x) = x¹²
• f₁₄(x) = x¹⁴
• ...

getrennt untersuchen und hoffen dass du dabei eine Regel findest.

Tipp:

    (-a)·b = -(a·b)

und

    (-a)·(-b) = a·b

Es könnte eine gerade und ungerade Funktion sein. was noch?

Keines von beiden, wie z.B. bei der Funktion f(x) = x+1.

Comments

Vielen dank für die Antwort ! Keines vom beiden hätte ich nicht erwartet aber es ergibt durch ihren Beispiel Sinn.

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Könnte die Funktion auch √(x+1) lauten ?

ich gehe davon aus dass die Funktion nicht beschränkt ist aber invertierbar. vielleicht auch streng monoton wachsend. da bin ich mir nicht sicher. Was meinen Sie?

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Keines von beiden ist falsch.

    f₂(-x) = (-x)² = (-x)·(-x) = x·x = x² = f₂(x)

    f₄(-x) = (-x)⁴ = (-x)·(-x)·(-x)·(-x) = ((-x)·(-x)) · ((-x)·(-x)) = (x·x)·(x·x) = x²·x² = x⁴ = f₄(x)

   ...

    f₁₃₃₆(-x) = (-x)¹³³⁶ = ... = x¹³³⁴ · x² = x¹³³⁶ = f₁₃₃₆(x)

Könnte die Funktion auch √(x+1) lauten ?

Ja. Das ist dann aber, genau wie f(x) = x + 1, keine Potenzfunktion.

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Ja, stimmt.

zuerst hieß es keines von beiden (gerade und ungerade Funkt.) und jetzt doch ? Bin durcheinander.

streng monoton wachsend sind sie, wenn sie gerade sind. beschränkt sind sie nicht

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irgnorier die letzte antwort die hat sich erledigt !

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ein anderes Beispiel keine Potenzfunktion: f(x) = 1/x

Die ist meiner Meinung nach ungerade, nicht oben und unten beschränkt und invertierbar. Was meinen Sie? Hat sie sogar ne Polstelle ?

nur eine kurze Erklärung bitte. vielen dank

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ein anderes Beispiel keine Potenzfunktion: f(x) = 1/x

1/x = x^-1. Wenn bei Potenzfunktionen negative Exponenten zugelassen sind, dann ist f demanch eine Potenzfunktion.

Die ist meiner Meinung nach ungerade, nicht oben und unten beschränkt und invertierbar.

Das ist korrekt.

Hat sie sogar ne Polstelle ?

Ja, bei 0.