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Bestimmung von Infimum, Minimum, Supremum und Maximum
Für jede der gegebenen Mengen bestimmten wir das Infimum (die größte untere Schranke), das Supremum (die kleinste obere Schranke), das Minimum (das kleinste Element der Menge, falls vorhanden) und das Maximum (das größte Element der Menge, falls vorhanden).
a) \( M1 = ]-5,-2[ \)
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Infimum: Das Infimum ist die größte Zahl, die kleiner als alle Elemente in \(M1\) ist, ohne selbst ein Element von \(M1\) zu sein. Da \(M1\) alle Zahlen zwischen -5 und -2, ohne diese beiden Zahlen selber, beinhaltet, ist das Infimum \(-5\).
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Supremum: Das Supremum ist die kleinste Zahl, die größer als alle Elemente in \(M1\) ist, ohne selbst ein Element von \(M1\) zu sein. Hier ist das Supremum \(-2\).
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Minimum: Da \(M1\) das Intervall \(-5\) nicht einschließt, gibt es kein kleinstes Element in \(M1\), also kein Minimum.
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Maximum: Analog gibt es da das Intervall \(-2\) nicht einschließt, kein größtes Element in \(M1\), also kein Maximum.
b) \( M2 = \left\{(-1)^{n}: n \in \mathrm{N}\right\} \)
Betrachten wir die Elemente dieser Menge, erhalten wir zwei mögliche Ergebnisse: -1 und 1. Für gerade \(n\) ist \((-1)^n = 1\) und für ungerade \(n\) ist \((-1)^n = -1\).
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Infimum: Das Infimum der Menge wird von dem kleinsten Wert angenommen, den die Menge produzieren kann, also \(-1\).
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Supremum: Das Supremum wird von dem größten Wert angenommen, den die Menge produzieren kann, also \(1\).
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Minimum: Da \(-1\) in der Menge enthalten ist (bei ungeradem \(n\)), ist das Minimum \(-1\).
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Maximum: Da \(1\) in der Menge enthalten ist (bei geradem \(n\)), ist das Maximum \(1\).
c) \( M3 = \left\{x \in R: \quad x^{2}-10 x \leq 24\right\} \)
Um die Bedingung \(x^{2}-10x \leq 24\) umzuformen, lösen wir die quadratische Ungleichung. Dazu bringen wir erst alles auf eine Seite:
\(x^2 - 10x - 24 \leq 0\)
Wir finden die Nullstellen der quadratischen Funktion, um die Intervalle zu bestimmen:
\(x^2 - 10x - 24 = 0\)
Die Lösungen dieser Gleichung sind die Nullstellen:
\(x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-24)}}{2\cdot1}\)
\(x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}\)
\(x = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2}\)
\(x = \frac{10 \pm 14}{2}\)
Es ergeben sich zwei Lösungen: \(x = 12\) und \(x = -2\).
Somit ist die Menge \(M3\) alle \(x\) im geschlossenen Intervall \([-2, 12]\).
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Infimum: Da \(-2\) der kleinste Wert im Intervall ist und zu \(M3\) gehört, ist \(-2\) das Infimum.
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Supremum: Da \(12\) der größte Wert im Intervall ist und zu \(M3\) gehört, ist \(12\) das Supremum.
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Minimum: Da \(-2\) Teil der Menge ist, ist dies auch das Minimum.
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Maximum: Da \(12\) Teil der Menge ist, ist dies auch das Maximum.
