Darstellungsmatrix bzgl. geord. Basen bestimmen (Klausurvorbereitung)

Question

Aufgabe:

Es sei $$h: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2, x \rightarrow Ax$$ die zur Matrix $$A=\begin{pmatrix} 5 & -5 & -8 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$ gehörige lineare Abbildung. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $$M_{S,T}(h)$$ von h bezüglich der geordneten Basen $$S=\begin{pmatrix} s_1,s_2,s_3\end{pmatrix}$$ des $$\mathbb{R}^3$$ und $$T=\begin{pmatrix} t_1,t_2\end{pmatrix}$$ des $$\mathbb{R}^2$$ , wobei $$s_1=\begin{pmatrix} 2\\3\\0 \end{pmatrix}, s_2=\begin{pmatrix} 3\\0\\2 \end{pmatrix},s_3=\begin{pmatrix} 0\\2\\-1 \end{pmatrix}, t_1=\begin{pmatrix} -5\\3 \end{pmatrix}, t_2=\begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe Lineare Algebra etwas schleifen lassen und bereite mich gerade auf die Klausur vor. In einer Altklausur habe ich diese Aufgabe gefunden. Leider weiß ich nicht wie sie zu lösen ist. Ich finde nur sehr viele unterschiedliche und für mich unverständliche Ansätze. Über das Aufzeigen eines Verfahrens, wie ich solche Aufgaben löse, würde ich mich sehr freuen!

Comments

Ich habe jetzt mal das Folgende versucht, keine Ahnung ob nur Ansatzweise richtig. Über eine Rückmeldung wäre ich sehr dankbar!

$$h\begin{pmatrix} 2\\3\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\3 \end{pmatrix}$$

$$h\begin{pmatrix} 3\\0\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}$$

$$h\begin{pmatrix} 0\\2\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}$$

also $$h(S)$$ berechnet?

Dann versucht diese Bildvektoren als Linearkombination der Basiselemente von T darzustellen:

$$h(s_1)=1\cdot\begin{pmatrix} -5\\3 \end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix},h(s_2)=1\cdot\begin{pmatrix} -5\\3 \end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix},h(s_3)=0\cdot\begin{pmatrix} -5\\3 \end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix} 2\\-1 \end{pmatrix}$$

Damit wäre doch die gesuchte Matrix $$M^S_T(h)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Ist das richtig oder bin ich da komplett auf dem Holzweg?

Answer 1

Die Basisvektoren K in einer Matrix {_Ke1,_Ke2 ,...} zusammengefast beschreiben eine Basistransformation von K nach E:

geschrieben _ET_K

Die Umkehrung (also von E nach K) _KT_E = (_ET_K)^-1.

Die Abb h oder genauer, _Eh_E funktioniert auf der Einheitsbasis E.
Um die Abbildung in S-Koordinaten zu haben müssen S Vektoren nach E konvertiert, die Bilder in _Eh_E (eAe) berechnet und dort in T dargestellt werden.

Also schreibt sich die Abb h: _EA_{E E}x

in der Darstellung von S nach T: 

_Th_S :=_TA_{S S}x

_Th_S:= (_ET_T)^-1 _EA_{E  E}T_{S  S}x


so weit klar?

Comments

Hi Wächter, danke für deine Antwort! Leider habe ich meine Probleme das zu verstehen, tut mir leid, wie macht man das denn konkret, also mit Zahlen? Das ist für mich sehr abstrakt alles (Ich studiere nicht Mathe ;-)

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Was an der Aussage:

>Die Basisvektoren K in einer Matrix {Ke1,Ke2 ,...} zusammengefast beschreiben eine Basistransformation von K nach E: 

verstehst Du nicht? Du hast 2 Basen K=S und K=T gegeben:

Stelle die Basistransformationsmatrizen

_ET_S und _ET_T auf

und dann steht oben, wie Du M_S,T(h) = _Th_S bekommst

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Tut mir leid ich verstehe überhsupt nichts davon. Ich möchte nur wissen was multipliziere ich womit bzw. was stelle ich als LGS auf zum lösen etc. Anhand meines Beispiels mit den konkreten Zahlen.