Aufgabe:
Es seien \(a,b>0\). Wir definieren die Folge \((x_n)\) rekursiv durch \(x_1=b\) und
\(x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})=x_n+\frac{x_n}{2}(\frac{a}{x_n^2}-1)\).
Beweisen Sie \(x_n^2\geq a\) für \(n\geq2\), mithilfe der Bernoulli-Ungleichung.
Problem/Ansatz:
\(x_{n+1}^2=(\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n}))^2=\frac{1}{4}x_n^2(1+\frac{a}{x_n^2})^2\geq\frac{1}{4}x_n^2(1+\frac{2a}{x_n^2})=\frac{1}{4}x_n^2+\frac{1}{2}a\geq\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}a=\frac{3}{4}a\)
Wo liegt mein Fehler, dass ich nur auf \(\frac{3}{4}a\) statt \(a\) komme?