x_n^2≥a für rekursive Folge mit Bernoulli-Ungleichung zeigen

Question

Aufgabe:

Es seien \(a,b>0\). Wir definieren die Folge \((x_n)\) rekursiv durch \(x_1=b\) und

\(x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})=x_n+\frac{x_n}{2}(\frac{a}{x_n^2}-1)\).

Beweisen Sie \(x_n^2\geq a\) für \(n\geq2\), mithilfe der Bernoulli-Ungleichung.

Problem/Ansatz:

\(x_{n+1}^2=(\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n}))^2=\frac{1}{4}x_n^2(1+\frac{a}{x_n^2})^2\geq\frac{1}{4}x_n^2(1+\frac{2a}{x_n^2})=\frac{1}{4}x_n^2+\frac{1}{2}a\geq\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}a=\frac{3}{4}a\)

Wo liegt mein Fehler, dass ich nur auf \(\frac{3}{4}a\) statt \(a\) komme?

Answer 1

du weißt ja schon laut Aufgabe, dass x_n^2 >=a gilt. Dann gilt aber auch auf jeden Fall x_n^2>=3/4 a, da a positiv. Das ist aber nicht die größte untere Schranke. Du hast richtig gerechnet, aber die Bernoulli-Ungleichung ist hier anders zu nutzen.

Du hast ja zwei versch. Terme für x_{n+1} gegeben, nimm doch mal den zweiten:

x_{n+1}^2=(x_{n}+x_{n}/^2 (a/x_{n}^2 -1))^2=x_{n}^2(1+1/2(a/x_{n}^2 -1))^2

>=x_{n}^2(1+(a/x_{n}^2 -1))=a