Für n=1 gilt es nicht; denn da hast du bei
allen das gleiche. Also soll wohl n>1 gelten.
Dann gilt:
xn < yn < zn.
<=> √(n + a)−√n < √(n + a √n) − √n < √(n + an) − √n
<=> √(n + a) < √(n + a √n) < √(n + an) ausklammern
<=> √(n + a) < √ (√n*(√n+ a )) < √n*√(1 + a)
<=> √(n + a) < √ (√n) *√(√n+ a ) < √n*√(1 + a) | : √n
<=> √(n + a) / √n < √(1/√n) *√(√n+ a )) < √(1 + a)
<=> √(1 + a/n) < √(1+ a/√n )< √(1 + a) #
Und wegen n > a^2 und a>0 gilt
n/a > a und wegen n>1 ( s.o.) also auch
n/a > √n/a > a also auch
a/n < a/√n < a und damit
1 + a/n < 1+ a/√n < √1 + a
und damit #.
b) √(n + a)−√n = ( n+a-n) / (√(n + a)+√n ) =a / (√(n + a)+√n )
Nenner gegen unendlich, Zähler konstant, also GW 0.
√(n + a √n) − √n = (n + a√n - n) / ( √(n + a √n) + √n)=(a√n ) / ( √(n + a √n) + √n)
mit √n kürzen:
= a / ( √(1 + a/√n ) + 1)
a /√n geht gegen 0, also Grenzwert a / 2.
√(n + an) − √n =( n+an - n)/ (√(n + an) + √n) = ( an ) / (√(n + an) + √n)
mit √n kürzen gibt
= ( a√n ) / (√(1 + a) + 1) =
Zähler gegen unendlich Nenner konstant und positiv,, also GW unendlich.