xe^(-1/2x^2) Ableitung

Question

f(x) =x e^{-1/2 x^2}

kann jemand den Rechenweg genau darstellen?

Answer 1

u=x ;   v= e^((-x^2)/2)

u' =1;   v'=  - x *e^((-x^2)/2)

allgemein: y '= u'v +u v'

y'= 1 *e^((-x^2)/2) + x * (- )x *e^((-x^2)/2)

y'= e^((-x^2)/2) - x^2 *e^((-x^2)/2)

y '= e^((-x^2)/2) (1 -x^2)

Answer 2

Hi,

beachte die Produktregel :).

$$f(x) = x\cdot e^{-\frac12 x^2}$$

$$f'(x) = e^{-\frac12 x^2} + x\cdot e^{-\frac12 x^2} \cdot (-\frac12 x^2)' = e^{-\frac12 x^2} + x\cdot e^{-\frac12 x^2} \cdot (-x)$$

$$= e^{-\frac12 x^2} \cdot (1 - x^2)$$

Grüße

Answer 3

Es ist

        f(x) = g(x) · h(x)

mit

(1)        g(x) = x und

(2)        h(x) = e^-1/2x2

Laut Produktregel ist

(3)        f'(x) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x).

Dabei ist

(4)        g'(x) = 1.

Es ist

        h(x) = u(v(x))

mit

(5)       u(v) = e^v und

(6)        v(x) = -1/2·x².

Laut Kettenregel ist

(7)        h'(x) = u'(v(x))·v'(x).

Dabei ist

(8)        u'(v) = e^v

also

(9)        u'(v(x)) = e^-1/2x2 und

(10)        v'(x) = -x.

Die Gleichungen (9) und (10) eingesetzt in (7) ergeben

(11)        h'(x) = -x·e^-1/2x2.

Die Gleichungen (1), (2), (4) und (11) eingesetzt in (3) ergeben

        f'(x) = 1·e^-1/2x2 + x·(-x)·e^-1/2x2

Ausklammern und vereinfachen liefert

        f'(x) = (1-x²)·e^-1/2x2