Höhe einer quadratischen Pyramide

Question

Aufgabe:

Die Punkte A(12/10/0), B(9/7/12) und C(-2/2/8) sind gegeben.

Aus Teilaufgabe b) ergibt sich D(1/5/-4)

c) Welche Höhe hat die gerade quadratische Pyramide ABCDS mit dem Volumen V = 1944?

d) Berechne für diese Pyramide die Koordinaten der Spitze S (2 Lösungen).

Problem/Ansatz:

c)

Vektorprodukt aus den Vektoren BA und BC ergibt die Grundfläche (bei mir: 24 mal wurzel 33)

Formel vom Volumen nach h umgeformt. Lösung leider falsch, ich habe alles Schritte kontrolliert.

d) keine Idee

Comments

Die Punkte sind ziemlich seltsam. Waren bis auf D die anderen gegeben?

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Ja die Punkte waren so vorgegeben ausser D.

Answer 1

den Flächeninhalt der Grundfläche \(G\) berechnest du mit Elementargeometrie. Dafür brauchst du den Abstand von zwei Punkten der Grundfäche und quadrierst jenen:$$|\overrightarrow{AB}|=|\vec{b}-\vec{a}|=\begin{pmatrix} -3\\-3\\12 \end{pmatrix}=\sqrt{2\cdot (-3)^2+12^2}=9\sqrt{2}$$$$\Longrightarrow G=(9\sqrt{2})^2=162$$ (2) Du bestimmst den Mittelpunkt einer der Diagonalen der Grundfläche:$$M\left(\frac{12-2}{2};\frac{10+2}{2};\frac{0+8}{2}\right) \Longrightarrow M(5|6|4)$$$$\overrightarrow{MS}=\vec{s}-\vec{m}=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5\\6\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-5\\y-6\\z-4 \end{pmatrix}$$ Der Betrag dieses Vektors multipliziert mit der Grundfläche \(G=162\) muss dann das Volumen \(V=1944\) ergeben wobei du die \(x\)- und \(y\)-Koordinante bereits dem Mittelpunkt entnehmen kannst. Also:$$1944=162\cdot \sqrt{(z-4)^2} \quad |:162$$$$12=\sqrt{(z-4)^2} \quad |\uparrow^2$$$$ \Longleftrightarrow \quad 144=(z-4)^2$$$$\pm12=z-4  \quad \Longrightarrow z_1=16\quad  \vee  \quad z_2=-8$$ Es würde in der Theorie für beide funktionieren. Somit hast du zwei Fliegen mit einer Klatsche geschlagen.

1. Du kannst die Höhe einfach ablesen. In diesem Fall sind das \(h=12\) und du hast den Punkt \(S\) mit \(S(5|6|16)\) oder halt \(S(5|6|-8)\) dann steht die Pyramide auf dem Kopf!

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort:

bei S sind in meinem Lehrbuch die Lösungen anders:

S(21/-26/0) und S(-11/38/8)

was muss ich rechnen um auf diese zu gelangen?

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Die Höhe beträgt im Lehrbuch 12?

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... wobei du die x- und y-Koordinante bereits dem Mittelpunkt entnehmen kannst.

Das ist eine Annahme, die nicht zutrifft! Die Grundfläche der Pyramide liegt nicht parallel zur XY-Ebene. Sonst müssten doch die Punkt A bis D alle identischen Z-Koordinaten haben! Haben sie aber nicht.

Die Pyramide liegt ziemlich schräg

und ein \(S\) ist$$S = \begin{pmatrix} 21\\ -26\\ 0 \end{pmatrix}$$und die Höhe ist \(h=36\). Du hast in Deiner Antwort beim Volumen den Faktor \(1/3\) unterschlagen.

Gruß Werner

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Da hast du mich aber ertappt. Ich bin der Analytischen Geometrie recht neu und bestimmt auch nicht so versiert wie du.

Und richtig, bei Spitzkörpern muss das Volumen durch 3 dividiert werden.

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Entschuldigt mich dass ich nochmals frage, aber wie komme ich jetzt auf S? Das ist mir nicht klar, die Höhe 36 habe ich korrekt errechnet.

für die Hilfe.

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Du stellst eine Ebenengleichung der Grundfläche auf, E: 4x -8y -z = -32, liest den Normalenvektor \vec{n} ab \( \begin{pmatrix} 4\\-8\\-1 \end{pmatrix} \) und berechnest S₁ und S₂ vom Mittelpunkt aus

_{$$S = \begin{pmatrix} 5\\6\\4 \end{pmatrix}\pm \frac{36\cdot\begin{pmatrix} 4\\-8\\-1 \end{pmatrix}}{\sqrt{4^2+(-8)^2+(-1)^2}}\\S=\begin{pmatrix} 5\\6\\4 \end{pmatrix}\pm 4\cdot  \begin{pmatrix} 4\\-8\\-1 \end{pmatrix}\\S_1=\begin{pmatrix} 5\\6\\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 16\\-32\\-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 21\\-26\\0 \end{pmatrix}\\S_1=\begin{pmatrix} 5\\6\\4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 16\\-32\\-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11\\38\\8 \end{pmatrix}$$}