Berechnen Sie M(α, Bˆ, Bˆ) und (3, 2, −3, −3)α || Zeigen Sie, dass α bijektiv ist.

Question

Sei V := ℝ⁴ und seien v₁ := (2, 1, 0, 0), v₂ := (0, 0, 2, 0), v₃ := (−1, 0, 0, 0) und v₄ := (0, 0, 1, 1). Sei
Bˆ := (v₁, v₂, v₃, v₄).
(a) Zeigen Sie, dass Bˆ eine geordnete R-Basis von V ist.
Sei α ∈ End(ℝ⁴) gegeben mit folgenden Informationen: v^α₁ = (0, 0, 2, 2), v^α₂ = (−1, 0, 2, 0), v^α3 = (0, 1, 0, 0) und v^α₄ = (3, 0, 0, 0).

(b) Berechnen Sie M(α, Bˆ, Bˆ) und (3, 2, −3, −3)^α.

(c) Zeigen Sie, dass α bijektiv ist.

Ansatz:

bei a) muss man ja glaube nur zeigen: Je 4 linear unabhängige Elemente von ℝ⁴ bilden eine geordnete R-Basis: also av1+bv2+cv3+dv4=0, also a=b=c=d=0?

für b und c würde ich mich über eure Hilfe freuen.^^

Answer 1

bei a) muss man ja glaube nur zeigen: Je 4 linear unabhängige Elemente von ℝ4 bilden eine geordnete R-Basis: also av1+bv2+cv3+dv4=0, also a=b=c=d=0?

besser

aus av1+bv2+cv3+dv4=0   folgt als einzige Lösung  a=b=c=d=0   !

b) Für die Matrix musst du die Bilder der Basisvektoren wieder mit der Basis darstellen, also

etwa

v₁^α = (0, 0, 2, 2) = 0*(2, 1, 0, 0 ) + 0* (0, 0, 2, 0) + 0* (−1, 0, 0, 0) + 2* (0, 0, 1, 1).

Und die rot markierten Faktoren bilden die erste Spalte der gesuchten Matrix.

Entsprechend:

v₂^α = (-1, 0, 2, 0) = 0*(2, 1, 0, 0 ) + 1* (0, 0, 2, 0) + 1* (−1, 0, 0, 0) + 0* (0, 0, 1, 1).

v₃^α = (0, 1, 0, 0) = 1*(2, 1, 0, 0 ) + 0* (0, 0, 2, 0) + 2* (−1, 0, 0, 0) + 0* (0, 0, 1, 1).

v4^α = (3, 0, 0, 0) = 0*(2, 1, 0, 0 ) + 0* (0, 0, 2, 0) + (-3)* (−1, 0, 0, 0) + 0* (0, 0, 1, 1).

Dann ist die Matrix:    M =

0   0   1   0
0   1   0   0
0   1   2   -3
2   0   0    0

Für (3, 2, −3, −3)^α musst du den Vektor erst mal mit der Basis darstellen , also abcd

bestimmen (Gleichungssystem) mit 

(3, 2, −3, −3) = a*(2, 1, 0, 0 ) + b* (0, 0, 2, 0) + c* (−1, 0, 0, 0) + d* (0, 0, 1, 1).

Dann die Matrix mal

a
b
c
d

und du bekommst

a'
b'
c'

d'

und berechnest dann

(3, 2, −3, −3)^α = a'*(2, 1, 0, 0 ) + b'* (0, 0, 2, 0) + c'* (−1, 0, 0, 0) + d'* (0, 0, 1, 1).

Der Kern besteht nur aus dem Nullvektor, also bijektiv.

Comments

Hey mathef, vielen Lieben Dank für deine super Antwort, das mit dem Kern habe ich verstanden, aber ich verstehe noch nicht genau wie du auf (3,2,-3,-3)^α kommst, für a=2,b=0,c=1 und d=-3, aber mit welcher Matrix muss man multiplizieren und wie erhält man dabei a',b',c' und d' ?

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a=2,b=0,c=1 und d=-3 ist jedenfalls richtig.

also hat der gegebene Vektor (3,2,-3,-3)

bezüglich der Basis die Koordinaten (2,0,1,-3 ) . Und weil die

bei a) berechnete Matrix sich auf die Basis B bezieht musst du rechnen

$$B*\begin{pmatrix} 2\\0 \\1 \\-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\8 \\11 \\4 \end{pmatrix}$$

Und das sind jetzt die a',b',c' und d' . Also die Koordinaten bezüglich der Basis B

für (3,2,-3,-3)^α . Dann gibt das wohl (besser mal nachrechnen)

(3, 2, −3, −3)^α = 1*(2, 1, 0, 0 ) + 8* (0, 0, 2, 0) + 11* (−1, 0, 0, 0) + 4* (0, 0, 1, 1).

                       = ( -9 , 1 , 20 , 4)