Stetige Zufallsgrößen bei Telefonaten

Question

Aufgabe:

Die Dauer X (in Min) von Telefonaten in einer Firma wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte f mit f(x)= e^-x beschrieben.

a) Bestätigen Sie: f ist über ℝ⁺ eine Wahrscheinlichkeitsdichte

b) Berechnen und deuten Sie P(1<X<2)

c) Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ.

d) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Gespräch genau "eine Minute" dauert, wenn man die Gesprächsdauer auf Minuten bzw. auf Sekunden bzw. gar nicht rundet?

e) Gesprächsdauer in einer anderen Firma wird durch g(x)= k • e^-2x beschrieben. wie muss man k wählen, damit g eine Wahrscheinlichkeitsdichte über ℝ⁺ ist?

Problem/Ansatz:

um ehrlich zu sein hab keine ahnung wie ich hier vorgehen soll, formeln kenn ich, aber anwenden nicht ehrlich.

Danke.

Answer 1

a) Zeige dass f(x) ≥ 0 für alle x ∈ ℝ⁺ und ∫_0..∞ f(x) dx = 1 ist.

b) Berechne ∫_1..2 f(x)

c) Berechne μ = ∫_0..∞ x·f(x) dx und σ = √∫_0..∞ (x-μ)²·f(x) dx

d) ∫_0,5..1,5 f(x) dx bzw. ∫_{110/120..121/120} f(x) dx bzw. 0.

e) Löse die Gleichung ∫_0..∞ g(x) dx = 1.