ln(x) mit Bruch multiplizieren

Question

Aufgabe:

Erstellung der Ableitung für die Funktion:

$$ f ( x ) = \sqrt { x } \cdot \ln x $$

Hiernach erhalte ich für die Ableitung:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \cdot \ln x + x ^ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot x ^ { - 1 } $$

Umgeschrieben (und noch nicht vereinfacht) so:

$$ \frac { \ln x } { 2 \sqrt { x } } + \frac { 1 } { \sqrt { x } } $$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Weg zum ersten Teil nicht. Das Umschreiben von $$ \frac { 1 } { 2 } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } $$ zu $$ \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } $$ ist total klar. Wie kriege ich aber ln(x) dazu? Meine Idee wäre ln(x) einfach als Bruchform mit aufzunehmen:

$$ \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \cdot \frac { \ln ( x ) } { 1 } $$

Erweitere ich dann nur den Nenner auf $$ \frac { \ln ( x ) } { 2 \sqrt { x } } $$ ? Und rechne dann einfach mal? Vielleicht kann mir hier jemand mal auf die Sprünge helfen.

Comments

Ja, so siehts aus.

\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \dfrac{\ln x}{1}=\dfrac{1\cdot \ln x}{2\sqrt{x}\cdot 1}=\dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}\)

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Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht ^^ - vielen Dank für die Antworten!

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Ich hab grad ne ähnliche Aufgabe gemacht:
³√(x)*ln(x)

wonach die Lösung aber, sein soll:
1/3·(ln(x) + 3)·x−2/3

Müsste sie dann aber nicht, sein:
ln(x)/³√(x²) + 1/³√(x)

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da \(\left [\sqrt[3]{x}\right ]'=\dfrac{1}{3x^{2/3}}=3x^{-2/3}\)

ergibt sich:

\(\left [ \sqrt[3]{x}\cdot \ln x\right ]'=\dfrac{\sqrt[3]{x}}{x}+\dfrac{\ln x}{3x^{2/3}}=\dfrac{1}{x^{2/3}}+\dfrac{\ln x}{3x^{2/3}}\)
Jetzt den linken Bruch *3 nehmen, um auf den gleichen Nenner zu kommen:

\(\dfrac{3}{3x^{2/3}}+\dfrac{\ln x}{3x^{2/3}}=\dfrac{3+\ln x}{3x^{2/3}}\)

Answer 1

Hier wird einfach die Produktregel verwendet:

f= u*v

f'= u'*v+u*v´