Zeigen Sie, dass α ∈ HomK(Kn, Km) ist!

Question

Sei A ∈ M_n×m(K). Für alle v ∈ Kⁿ sei v^α := v ∗ A (Matrizenmultiplikation, wobei v als 1 × n Matrix

aufgefasst wird). Zeigen Sie, dass α ∈ Hom_K(Kⁿ, K^m) ist!

Answer 1

v ∗ A (Matrizenmultiplikation, wobei v als 1 × n Matrix aufgefasst wird).

1 x n Matrix  mal n x m Matrix gibt auf jeden

Fall eine 1 x m Matrix, also ist durch v^α := v ∗ A  eine Abbildung von R^n nach

R^m. gegeben.

Für "Hom" ist nachzuweisen

1. Additivität, also für alle v,w aus R^n    ( v+w) ∗ A =  v ∗ A + w ∗ A

gilt wegen der Distributivität der Matrizenmultiplikation und Addition.

2. Homogenität, also für alle v aus R^n  und x aus R gilt   ( x*v) ∗ A =  x*(v ∗ A)

gilt wegen der entsprechenden Gesetze über das Rechnen mit Matrizen auch.

                                                      q.e.d.